【正文】 第四章 隨機(jī)分析及均方微分方程 第一節(jié) 二階矩過程 第二節(jié) 均方極限 第三節(jié) 均方連續(xù)性 第四節(jié) 均方導(dǎo)數(shù) 第五節(jié) 均方積分 第六節(jié) 均方黎曼 — 司蒂吉斯積分 第七節(jié) 均方導(dǎo)數(shù)與均方積分的分布 第八節(jié) 均方微分方程 第一節(jié) 二階矩過程 定義 若隨機(jī)過程 { )( tX , Tt ? } ，對任意 Tt ? ，有)( tm ??? )]([ tXE???? ]))()([()( 2tmtXEtD則稱為二階矩過程 首頁 例 1 其中 和 V是相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 N（ 0， 1）的隨機(jī)變量， 解 由于 和 V都服從正態(tài)分布，所以 也具有正態(tài)分布， 設(shè) VtXtX ?? 0)( ， bta ?? ，0X試判斷 )( tX 為二階矩過程。0X )(tX且 )]([)( tXEtm X ? ][ 0 VtXE ?? 0][][ 0 ??? VtEXE)]()([),( 2121 tXtXEttK ? )])([( 2020 VtXVtXE ???][][ 22120 VEttXE ?? 211 tt??令 ttt ?? 21 ，得)( tD X 21 t??故 )( tX 為二階矩過程。首頁 性質(zhì) 二階矩過程的協(xié)方差函數(shù)一定存在 證 )](),(c o v [),( 2121 tXtXttK ?)]}()()][()({[ 2211 tmtXtmtXE ???由許瓦茲不等式得 22211221 |)]}()()][()({[||),(| tmtXtmtXEttK ???})]()({[})]()({[ 222211 tmtXEtmtXE ???)]([)]([ 21 tXDtXD ??故 ???221 |),(| ttK即二階矩過程 的協(xié)方差函數(shù)存在 )(tX注 二階矩過程的相關(guān)函數(shù) ),( 21 ttR 也一定存在。首頁 說明 在討論二階矩過程中，常假定均值為零，這樣相關(guān)函數(shù)的形式和協(xié)方差函數(shù)的形式相同。 返回 首頁 第二節(jié) 均方極限 一、均方收斂 定義 1 設(shè)隨機(jī)變量序列 { ， n = 1,2,…} 和隨機(jī)變量 X都存在二階矩， nX 如果 0])[(l i m 2 ???? XXE nn則稱 { }均方收斂于 X， nX或稱 X是 { }的均方極限 nX記作 XX n ???nl . i . m或簡記為 XX n ?首頁 二、均方收斂準(zhǔn)則 定理 1 柯西準(zhǔn)則 則 均方收斂的充要條件為 nX證 只證必要性 因?yàn)? 均方收斂于 X， 所以有 設(shè) { nX , n = 1, 2 ,? } 是二階矩隨機(jī)變量序列，0])[(lim 2 ?????? mnmnXXEnX0])[(l i m 2 ???? XXE nn0])[(l i m 2 ???? XXE mm 首頁 又由 所以 故 0])[(lim 2 ?????? mnmnXXE22 )]()[()( XXXXXX mnmn ?????22 )(2)(2 XXXX mn ????當(dāng) ??n ， ??m 時(shí)，得])[(lim0 2mnmnXXE ??????]})[(l i m])[(l i m{2 22 XXEXXE mmnn ???? ????0?首頁 注 等價(jià) 存在 其說明隨機(jī)變量序列 均方收斂的充要條件是它的相關(guān)函數(shù)列按普通極限意義收斂。 nX三、均方收斂性質(zhì) 性質(zhì) 1 若 則 0])[(lim 2 ?????? mnmnXXE )(l i m mnmnXXE????XX n ?)(][l i m XEXE nn???)nXE ( l . i . m?證 由許瓦茲不等式得 ?? 2|)()(| XEXE n 2|)(| XXE n ?2|| XXE n ??因 故得證 0])([l i m 2 ???? XXE nn注 當(dāng) 均方收斂于 X時(shí)， 的期望收斂于 X的期望 nX nX首頁 性質(zhì) 2 若 則 證 由許瓦茲不等式得 XX n ? YY n ?)(][l i m XYEYXE mnmn?????)nn YXE ( ??|)(||)()(| XYYXEXYEYXE mnmn ???|)])(()()([| YYXXYXXYYXE mnnm ???????|])[(||)]([| YXXEYYXE nm ???? |)])([(| YYXXE mn ???2122 ]})()({ YYEXEm ?? 212 )}(])[({ YEXXEn ??2122 ]})[(])[({ YYEXXEmn ???因 0])([l i m 2 ???? XXE nn 0])([l i m 2 ???? YYE nn故得證 首頁 性質(zhì) 3 若 則對任意常數(shù) a、 b都有 證 因?yàn)? XX n ? YY n ?故得證 bYaXbYaX nn ??? )(l . i . m2)]([ bYaXbYaXE nn ???2)]()([ YYbXXaE nn ????])[(2])[(2 2222 YYEbXXEa nn ???? 0?? ?? ??n首頁 性質(zhì) 4 若 則 注 因 XX n ? YX n ?l . i . m= YX ?若 1)( ?? YXP ，則稱 X 與 Y 相等證 ][][2][])[( 222 YEYXEXEYXE nnn ????XX n ?])[( 2YXE ?YX n ?l . i . m0][][2][ 222 ??? YEYEYE于是 1)( ?? YXP即 YX ?返回 首頁 第三節(jié) 均方連續(xù)性 均方收斂 定義 1 即 則稱 在點(diǎn) t均方連續(xù)。 設(shè)隨機(jī)變量 { )( tX ， ),( ?????t } 為二階矩過程若對某一確定的 ),( ?????t ，有)()(0tXhtXh???0]))()([(l i m 20 ???? tXhtXEh)(tX一、均方連續(xù) 0]))([(l i m 200??? XtXEtt稱 在 時(shí)均方收斂于 )(tX0tt ? 0X首頁 二、均方連續(xù)準(zhǔn)則 定理 1 則 證 充分性 設(shè)隨機(jī)變量 { )( tX ， ),( ?????t } 為二階矩過程),( tsR 為其相關(guān)函數(shù)，)( tX 在 ??t 處均方連續(xù) ? ),( tsR 在 ),( ?? 連續(xù)設(shè) ),( tsR 在 ),( ?? 連續(xù)則 ]))()([(l i m 20 ?? XhXEh ???),(),([l i m 0 ???? hRhhRh ????? ? )],(),( ???? RhR ???0?所以 )()(0 ?? XhXh ???l . i . m 首頁 再證必要性 又 由均方收斂性質(zhì) 2得 定理 2 證 設(shè) )( tX 在 ? 處均方連續(xù)，）（ )()((),( kXhXEkhR ????? ????),()()(),(l i m00?????? RXXEkhRkh??????）（即 ),( tsR 在 ),( ?? 連續(xù)。如果 ),( tsR 在 { ),( tt ， ),( ?????t } 處連續(xù)，則 ),( tsR 在 { ),( ts ， ),(, ?????ts } 處連續(xù)。因 ),( tsR 在 { ),( tt ， ),( ?????t } 處連續(xù)，由定理 1知， )( tX 在 t ),( ???? 點(diǎn) 均方連續(xù)， 即對于 ),(, ?????ts ，有首頁 再由均方收斂性質(zhì) 2，得 即 )()(0sXhsXh???l . i . m)()(0tXhtXh???),(l i m00kthsRkh????)]()([l i m00ktXhsXEkh?????),()]()([ tsRtXsXE ??),( tsR 在 { ),( ts ， ),(, ?????ts } 處連續(xù)。首頁 定理 3 則 證 由均方連續(xù)定義 若二階矩過程 { )( tX , Tt ? } 是均方連續(xù)的，)]([)]([l i m 0 tXEhtXEh ???0]))()([(l i m 20 ???? tXhtXEh從而 )]([l i m 0 htXEh ?? )]([)(0 tXEhtXhE ???? ）（ l . i . m說明 在均方連續(xù)的條件下，均值運(yùn)算與極限運(yùn)算的次序可以互換。但要注意，上式左邊為普通函數(shù)的極限，而右邊表示均方收斂意義下的極限。 首頁 例 1 試討論其均方連續(xù)性。 解 泊松過程的均值、方差函數(shù)為 則相關(guān)函數(shù) 設(shè) { )( tX , 0?t } 是具有參數(shù)為 ? 的泊松過程，ttXEtm ??? )]([)(ttXDtD ??? )]([)(若 ts ??0 ，)]()([),( tXsXEtsR ? )]}()()()[({ sXsXtXsXE ???)]()([)]([)]([ 2 sXtXEsXEsXE ????)()]([)]([ 2 stssmsXD ????? ??stsstsss 22 )()( ?????? ???????首頁 同樣 因此 由于 當(dāng) st ??0 時(shí)，有stttsR 2),( ?? ??sttstsR 2),m i n (),( ?? ??),( tsR 在 （ t， t）處二元連續(xù)故 )( tX 在 0?t 時(shí)均方連續(xù)。注 此例說明均方連續(xù)的隨機(jī)過程，其樣本曲線不一定是連續(xù)的。 返回 首頁 第四節(jié) 均方導(dǎo)數(shù) 一、均方導(dǎo)數(shù)的定義 定義 1 如果均方極限 存在 設(shè)隨機(jī)變量 { )( tX ， ),( ?????t } 為二階矩過程對于確定的 ),( ?????t ，0?hhtXhtX )()( ??則稱 在 t處均方可微， )(tX 并將此極限記作 )(tX?稱為 )( tX 在 t 處的均方導(dǎo)數(shù)即有 ?? )( tX0?h h tXhtX )()( ??或 0)()()(l i m20??????? ?????tXhtXhtXEh首頁 二次均方可微 二階均方導(dǎo)數(shù) 定義 2 廣義二次可微 存在 若 { )( tX ? , ),( ?????t } 在 t 處均方可微，則稱 )( tX 在 t 處二次均方可微)( tX ? 的均方導(dǎo)數(shù)記為 )( tX ??設(shè) ),( tsR 為隨機(jī)過程 { )( tX , Tt ? } 的相關(guān)函數(shù)，若它在 ),( ts 點(diǎn)當(dāng) 0, ?kh 時(shí)，極限khtsRktsRthsRkthsRkh ??????????),(),(),(),(l i m00則稱 ),( tsR 在 ),( ts 處廣義二次可微，而此極限稱為 ),( tsR 在 ),( ts 處廣義二階導(dǎo)數(shù)首頁 二、均方可微準(zhǔn)則 定理 1 證 設(shè) { )( tX , ),( ?????t } 為二階矩過程，則 )( tX , ),( ?????t 在 t 處均方可微的充要條件是其相關(guān)函數(shù) ),( tsR 在 ),( tt 處廣義二次可微。由均方收斂準(zhǔn)則知 0?h h tXhtX )()( ??的充要條件是 ?????? ??????? ktXktXhtXhtXEkh)()()()