【文章內容簡介】 ???? ? ? ??????????31 ? 令 f ′(x)=0，則 x=1或 x=2. ? 所以當 x＜ 1時， f ′(x)＞ 0。 ? 當 1＜ x＜ 1時， f ′(x)＜ 0。 ? 當 x＞ 1且 x≠2時， f ′(x)＞ 0. ? 因為 x=1時函數(shù)無意義，根據(jù)極值點的特 ? 點知 x=1是 f(x)的極大值點， ? 即［ f(x)］極大值 =f(1)=34， ? 且 f(x)無極小值 . 32 ? 點評： 利用導數(shù)求函數(shù)的極值的步驟是：① 求導函數(shù)； ② 解方程 f ′(x)=0； ③ 判斷 f ′(x)在 f ′(x)=0的根 x0左右的符號 ， 若左負右正 ， 則此點為極小值點；若左正右負 ， 則此點為極大值點；若左右同號 ， 則非極值點 .若是求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 ， 則先求極值 ， 然后與兩端點值進行比較可得最值 . 33 求函數(shù) f ( x ) ＝ x3－ 2 x2＋ 1 在區(qū)間 [ － 1 , 2 ]上的最大值與最小值 ． 34 解： f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 4 x ＝ 3 x ( x －43) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，則 x ＝ 0 或 x ＝43. 35 當 x ∈ [ － 1 , 0 ) 時， f ′ ( x ) ＞ 0 ；當 x ∈ ( 0 ，43) 時， f ′ ( x ) ＜ 0 ；當 x ∈ (43， 2 ] 時， f ′ ( x ) ＞ 0. 所以 [ f ( x )] 極小值 ＝ f (43) ＝－527， [ f ( x )] 極大值 ＝ f ( 0 ) ＝ 1. 又 f ( － 1 ) ＝－ 2 ， f ( 2 ) ＝ 1 ， 所以 [ f ( x )]m ax＝ 1 ， [ f ( x )]min＝－ 2. 36 題型 5 利用導數(shù)轉化極值與最值條件 ? 2. 設 a為實常數(shù)，已知函數(shù) f(x)=(x2+ax+a)ex ? 有極小值 0，求 a的值 . ? 解： f ′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)(ex) ? =ex［ x2+(a2)x］ . ? 令 f ′(x)=0，則 x2+(a2)x=0， ? 所以 x=0或 x=2a. ? (1)當 a=2時， f ′(x)=exx 2≤0， ? 所以 f(x)無極值 . 37 ? (2)當 a＜ 2時，在 (∞， 0)上， f ′(x)＜ 0。 ? 在 (0， 2a)上， f ′(x)＞ 0。 ? 在 (2a， +∞)上， f ′(x)＜ 0. ? 所以［ f(x)］極小值 =f(0)=， a=0. ? (3)當 a＞ 2時，在 (∞， 2a)上， f ′(x)＜ 0。 ? 在 (2a， 0)上， f ′(x)＞ 0。 ? 在 (0， +∞)上， f ′(x)＜ 0. ? 所以［ f(x)］ 極小值 =f(2a).由已知， f(2a)=0. ? 所以 (2a)2+a(2a)+a=0，解得 a=4. ? 綜上分析， a=0或 a=4. 38 ? 點評： 函數(shù)有極值的必要條件是： f ′(x)=0， 由此可轉化得到相應的等式或方程 ， 再進一步轉化為所需要的條件 .需要注意的是在此條件下得到的結論要檢驗一下是否為極值 . 39 ? 已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線 y=f(x)在點 x=1處的切線為 l:3xy+1= x= 時， y=f(x)有極值 . ? (1)求 a,b,c的值； ? (2)求 y=f(x)在［ 3， 1］上的最大值和最小值 . ? 解： (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c, ? 得 f ′(x)=3x2+2ax+b. ? 當 x=1時，切線 l的斜率為 3，可得 2a+b=0。① ? 當 x= 時， y=f(x)有極值，則 f ′( )=0, ? 即 4a+3b+4=0.② 23232340 ? 由①②解得 a=2,b=4. ? 由于切點的橫坐標為 x=1,所以 f(1)=3 1+1=4. ? 所以 1+a+b+c=4,所以 c=5. ? (2)由 (1)可得 f(x)=x3+2x24x+5, ? 所以 f ′(x)=3x2+4x4. ? 令 f ′(x)=0,得 x=2,x= . ? 當 x變化時， y,y′的變化情況如下表： 2341 ? 所以 y=f(x)在［ 3， 1］上的最大值為13，最小值為 . x 3 (3,2) 2 (2， 23) ( ， 1) 1 y′ + 0 0 + y 8 ↗ 13 ↘ ↗ 4 23239527952742 ? 1. 函數(shù)的極值是一個局部性概念 ， 它反映出函數(shù)在某個局部的最大值和最小值情況 .一個函數(shù)在其定義域內可以有多個極大值和極小值 ， 且極大值與極小值之間沒有必然的大小關系 ， 即某個極大值可能小于另一個極小值 . ? 2. 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 ［ a， b］ 內連續(xù) ， 且有有限個極值點 ， 則 f(x)在這個區(qū)間內的極大值點與極小值點是交替出現(xiàn)的 (如正弦曲線 ). 43 ? 3. 可導函數(shù)在極值點的導數(shù)一定為 0， 但導數(shù)為 0的點 (稱為駐點 )不一定是極值點 (例如 ，函數(shù) f(x)=x3在 x=0處的導數(shù)是 0， 但它不是極值點 )， 不可導的點可能是極值點 (例如 ， 函數(shù) f(x)=|x|在 x=0處不可導 ， 但它是極小值點 )，因此 ， 函數(shù)的極值點只能在導數(shù)為 0的點和不可導的點中產生 . 44 ? 4. 函數(shù)的最值是一個整體性概念 ， 它反映函數(shù)在整個區(qū)域 (或定義域 )內的最大值和最小值情況 ， 函數(shù) f(x)有極值未必有最值 ， 反之亦然 .極值與最值是兩個不同的概念 . ? 5. 若 f(x)在閉區(qū)間 ［ a， b］ 上連續(xù)且單調 ， 則f(x)的最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個端點處取得；若連續(xù)函數(shù) f(x)在開區(qū)間 (a， b)內只有一個極值點 ， 則該點也是一個最值點 . 45 ? 6. 求可導函數(shù)在定義域內的極值的一般步驟是： ? (1)求 f ′(x)， 令 f ′(x)=0， 求此方程在定義域內的所有實根 . ? (2)檢查 f ′(x)在方程 f ′(x)=0的根左右取值的符號 .如果左正右負 ， 那么 f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正 ， 那么 f(x)在這個根處取得極小值 . 46 ? 7. 求可導函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 ， 只要在求極值的基礎上 ， 再與區(qū)間端點的函數(shù)值做出比較就能得出結論 .在實際問題中 ， 有時會遇到函數(shù)在開區(qū)