高考理科數學軌跡和軌跡方程復習資料(編輯修改稿)
2025-09-25 14:43 本頁面
【文章內容簡介】 因為 |PM|=|PF||FM|， 83323| | | | .| | | |P F A FP M B M?20 ? 所以 即 ? 所以點 M的軌跡是以點 F為左焦點， ? l為左準線的橢圓位于直線 ? x= 右側的部分 . ? 由 ? 可得 a=4， b=2， c= . ? 因為 |OF|= =c，所以 O為橢圓的中心 . ? 故點 M的軌跡方程是 1 | | ,| | | |AFF M B M? | | 1 3 .| | | | 2MFM B A F??2322 2 23 2 3, | | , ,23cb A F a b cac? ? ? ? ?2323221 ( 2 3 4 ) .1 6 4xy x? ? ? ?21 ? 1. 直接法求軌跡方程的一般步驟是： ? (1)建系 —— 建立適當的坐標系 . ? (2)設點 —— 設軌跡上的任一點 P(x， y). ? (3)列式 —— 列出動點 P所滿足的關系式 . ? (4)代換 —— 依條件式的特點 ， 選用距離公式 、 斜率公式等將其轉化為 x， y的方程式 ，并化簡 . ? (5)證明 —— 證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程 . 22 ? 2. 求出的軌跡方程中若有的解不合軌跡條件 ,從而使軌跡圖形上有不合軌跡條件的點存在 ,則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點的集合 ， 即曲線之外還有適合條件的點存在 ， 則該方程及曲線不滿足完備性 .求解軌跡方程時要避免方程不滿足純粹性和完備性的錯誤 . ? ， 在求曲線方程時 ，要注意分析其隱含條件 ， 若是曲線的一部分 ，則應對方程注明 x的取值范圍 ， 或同時注明 x，y的取值范圍；若軌跡有不同的情況 ， 應分別討論 ， 以保證它的完整性 . 23 第八章 圓錐曲線方程 第 講 （第二課時） 24 題型 3 代入法求軌跡方程 1. 已知拋物線 y2＝ 4 px ( p 0 ) ， O 為頂點 ， A ， B 為拋物線上的兩動點 ， 且滿足 OA ⊥ OB ， 如果 OM ⊥AB 于 M 點 ， 求點 M 的軌跡方程 ． 25 解： 直線 AB 斜率存在時，設 M ( x0， y0) ，直線AB 的方程為 y ＝ kx ＋ b . 由 OM ⊥ AB ，得 k ＝－x0y0， 由 y2＝ 4 px ，及 y ＝ kx ＋ b ，消去 y ， 得 k2x2＋ x ( 2 kb － 4 p ) ＋ b2＝ 0 ，所以 x1x2＝b2k2 . 消去 x ，得 ky2－ 4 py ＋ 4 pb ＝ 0 ，所以 y1y2＝4 pbk. 26 由 OA ⊥ OB ，得 y1y2＝－ x1x2， 所以4 pbk＝－b2k2 ， b ＝－ 4 kp ， 故 y0＝ kx0＋ b ＝ k ( x0－ 4 p ) ． 把 k ＝－x0y0代入，得 x20＋ y20－ 4 px0＝ 0 ( x0≠ 0 ) ， AB ⊥ x 軸時， M ( 4 p , 0 ) 也符合 x2＋ y2－ 4 px ＝0 ( x ≠ 0 ) ， 即點 M 的軌跡方程為 x2＋ y2－ 4 px ＝ 0 ( x ≠ 0 ) ． 27 點評： 在一些很難找到形成曲線的動點 P ( x ，y ) 的坐標 x ， y 所滿足的關系式的情況下，往往借助第三個變量 t，建立 t 和 x ， t 和 y 的關系式 x ＝ φ ( t ) ，y ＝ φ ( t ) ，再通過一些條件消掉 t 就間接找到了 x 和y 所滿足的方程，從而求出動點 P ( x ， y ) 所形成的曲線的普通方程 ． 28 ? 求經過定點 A(1， 2)， 以 x軸為準線 ，離心率為 的橢圓下方的頂點的軌跡方程 . ? 解： 設橢圓下方的焦點為 F(x0， y0)， ? 由定義知 所以 |AF|=1， ? 故點 F的軌跡方程為 (x01)2+(y02)2=1. ? 又設橢圓下方頂點為 P(x,y),則 x0=x,y0= y, ? 所以點 P的軌跡方程是 (x1)2+( y2)2=1. | | 1 ,22AF ?323229 ? 2. 如右圖 ,P是拋物線 C： ? 上一點，直線 l過點 P
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