【正文】 (ex) ? =ex［ x2+(a2)x］ . ? 令 f ′(x)=0，則 x2+(a2)x=0， ? 所以 x=0或 x=2a. ? (1)當(dāng) a=2時(shí)， f ′(x)=ex ? 當(dāng) 1＜ x＜ 1時(shí)， f ′(x)＜ 0。 ? 在 (2a， +∞)上， f ′(x)＜ 0. ? 所以［ f(x)］極小值 =f(0)=， a=0. ? (3)當(dāng) a＞ 2時(shí)，在 (∞， 2a)上， f ′(x)＜ 0。1 ax a?＞10 1x a a?＜ ， lg .1axa? ?10( ) 1xxf x a? ? ?? 15 ? 當(dāng) a≤0時(shí)， f(x)是增函數(shù)； ? 當(dāng) a≥1時(shí)， f(x)是減函數(shù)； ? 當(dāng) 0＜ a＜ 1時(shí)， f(x)在 (∞， )上是減函數(shù)，在 ( ， +∞)上是增函數(shù) . ? 點(diǎn)評(píng)： 含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，在求導(dǎo)后判斷 f ′(x)的符號(hào)時(shí)，需要根據(jù)參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類(lèi)討論 . lg 1 a a?lg 1 a a?16 ? 已知函數(shù) f(x)=e2x2t(ex+x)+x2+2t2+1， ? 證明： ? (1)當(dāng) t＜ 時(shí)， g(x)在 R上是增函數(shù)； ? (2)對(duì)于給定的閉區(qū)間［ a， b］，總存在實(shí)數(shù) k， ? 當(dāng) t＞ k時(shí)， g(x)在閉區(qū)間［ a， b］上是減函數(shù) . ? 證明： (1)由題設(shè)得 g(x)=e2xt(ex+1)+x， ? 則 g′(x)=2e2xtex+1. ? 又由 2ex+ex≥ ，且 t＜ ，得 t＜ 2ex+ex， ? 即 g′(x)=2e2xtex+1＞ 0. ? 由此可知， g(x)為 R上的增函數(shù) . ? ? 1 ()2g x f x?? ，22222217 ? (2)證法 1： 因?yàn)?g′(x)＜ 0是 g(x)為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù) k，使得 t＞ k時(shí)， g′(x)= 2e2xtex+1 ＜ 0，即 t＞ 2ex+ex在閉區(qū)間［ a， b ］上成立即可 . ? 因?yàn)?y= 2ex+ex在閉區(qū)間［ a， b ］上連續(xù)，故在閉區(qū)間［ a， b ］上有最大值，設(shè)其為k，于是在 t＞ k時(shí)， g′(x)＜ 0在閉區(qū)間［ a，b ］上恒成立，即 g(x)在閉區(qū)間［ a， b ］上為減函數(shù) . 18 ? 證法 2： 因?yàn)? g′(x)＜ 0是 g(x)為 ? 減函數(shù)的充分條件， ? 所以只要找到實(shí)數(shù) k， ? 使得 t＞ k時(shí)， g′(x)= 2e2xtex+1 ＜ 0 ? 在閉區(qū)間［ a， b ］上成立即可 . ? 令 m=ex，則 g′(x)＜ 0(x∈ ［ a， b ］ ) ? 當(dāng)且僅當(dāng) 2m2tm+1＜ 0(m∈ ［ ea， eb］ ). ? 而上式成立只需 19 ? 取 2ea+ea與 2eb+eb中較大者記為 k， ? 易知當(dāng) t＞ k時(shí)， g′(x)＜ 0在閉區(qū)間 ? ［ a， b］上恒成立， ? 即 g(x)在閉區(qū)間［ a， b］上為減函數(shù) . 2e2atea+1＜ 0 2e2bteb+1＜ 0 ，即 t＞ 2ea+ea t＞ 2eb+eb 成立 . 20 ? 3. 已知 f(x)=exax1. ? (1)若 f(x)在定義域 R內(nèi)單調(diào)遞增， ? 求 a的取值范圍； ? (2)是否存在 a,使 f(x)在 (∞， 0］上單調(diào)遞減， ? 在［ 0， +∞)上單調(diào)遞增？若存在， ? 求出 a的值；若不存在，說(shuō)明理由 . 題型 3 利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍 21 ? 解： f ′(x)=exa. ? (1)因?yàn)?f(x)在 R內(nèi)單調(diào)遞增， ? 所以 f ′(x)≥0在 R上恒成立 . ? 所以 exa≥0，即 a≤ex在 R上恒成立 . ? 所以 a≤(ex)min. ? 又因?yàn)?ex＞ 0，所以 a≤0. ? 故 a的取值范圍為 (∞,0］ . 22 ? (2)解法 1： 由題意知 exa≤0 ? 在 (∞， 0］上恒成立 , ? 所以 a≥ex在 (∞， 0］上恒成立 . ? 因?yàn)?g(x)=ex在 (∞， 0］上為增函數(shù) , ? 所以當(dāng) x=0時(shí)， ex取得最大值 1. ? 所以 a≥1. ? 同理可知 exa≥0在［ 0， +∞)上恒成立， ? 即 a≤ex在［ 0， +∞)上恒成立， ? 所以 a≤ a=1. 23 ? 解法 2： 由題意知， x=0為 f(x)的極小值點(diǎn)， ? 所以 f ′(0)=0,即 e0a=0,所以 a=1. ? 點(diǎn)評(píng)： 由可導(dǎo)函數(shù)在某指定區(qū)間上是單調(diào)的，可得此函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是確定的，再由此得到相應(yīng)的不等式有解 (或恒成立 )，可求得參數(shù)的取值范圍 . 24 ? 設(shè)函數(shù) 試推斷是否存在正常數(shù) k，使 f(x)在 (1， 2)上是減函數(shù)，在 (2， +∞)上是增函數(shù)？ ? 解： f ′(x)=4k2x32x22kx+2. ? 依據(jù)題意，當(dāng) x∈ (1， 2)時(shí)， ? f ′(x)＜ 0。① ? 當(dāng) x= 時(shí)， y=f(x)有極值，則 f ′( )=0, ? 即 4a+3b+4=0.② 23232340 ? 由①②解得 a=2,b=4. ? 由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x=1,所以 f(1)=3 1+1=4. ? 所以 1+a+b+c=4,所以 c=5. ? (2)由 (1)可得 f(x)=x3+2x24x+5, ? 所以 f ′(x)=3x2+4x4. ? 令 f ′(x)=0,得 x=2,x= . ? 當(dāng) x變化時(shí)， y,y′的變化情況如下表： 2341 ? 所以 y=f(x)在［ 3， 1］上的最大值為13，最小值為 . x 3 (3,2) 2 (2， 23) ( ， 1) 1 y′ + 0 0 + y 8 ↗ 13 ↘ ↗ 4 23239527952742 ? 1. 函數(shù)的極值是一個(gè)局部性概念 ， 它反映出函數(shù)在某個(gè)局部的最大值和最小值情況 .一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個(gè)極大值和極小值 ， 且極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系 ， 即某個(gè)極大值可能小于另一個(gè)極小值 . ? 2. 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 ［ a， b］ 內(nèi)連續(xù) ， 且有有限個(gè)極值點(diǎn) ， 則 f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的 (如正弦曲線(xiàn) ). 43 ? 3. 可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為 0， 但導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn) (稱(chēng)為