20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：87-立體幾何中的向量方法-【含解析】(編輯修改稿)
2025-04-05 05:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷．(1)對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).[變式練]——(著眼于舉一反三)3．[2021山西省八校高三第一次聯(lián)考]如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝2，PD＝2，∠PDA＝，E為PD上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：AE⊥CD.(2)延長(zhǎng)CB到G，使AG⊥PC，若F為PG的中點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)E，使二面角P－AE－F的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第七節(jié) 立體幾何中的向量方法【知識(shí)重溫】①?、凇、邸拘☆}熱身】1．答案：(1) (2)√ (3)2．解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)DA＝1，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，則＝(－1,1,0)，＝，設(shè)異面直線(xiàn)DE與AC所成的角為θ，則cos θ＝|cos〈，〉|＝.故選D.答案：D3．解析：以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：A(2,0,0)，C1(0,0,2)．點(diǎn)C1在側(cè)面ABB1A1內(nèi)的射影為點(diǎn)C2.所以＝(－2,0，2)，＝，設(shè)直線(xiàn)AC1與平面ABB1A1所成的角為θ，則cos θ＝＝＝.又θ∈，所以θ＝.答案：4．解析：設(shè)l與α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30176。.答案：30176。5．解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以＝(0,1，－1)，＝，設(shè)平面A1ED的法向量為n1＝(1，y，z)，則即解得即n1＝(1,2,2)，又平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝，故平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為.答案：6．解析：由題意作出如圖所示的截面圖，設(shè)所求角為α，由圖易知α＝40176。.故選B.答案：B課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一例1 解析：(1)證明：因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥∥CC1，故AA1∥MN.因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)由已知得AM⊥，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M－xyz，則AB＝2，AM＝.連接NP，則四邊形AONP為平行四邊形，故PM＝，(1)知平面A1AMN⊥平面ABC，作NQ⊥AM，垂足為Q，則NQ⊥平面ABC.設(shè)Q(a,0,0)，則NQ＝，B1，故＝，||＝.又n＝(0，－1,0)是平面A1AMN的法向量，故sin＝cos〈n，〉＝＝.所以直線(xiàn)B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為.變式練1．解析：(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AC，交直線(xiàn)AC于點(diǎn) O，連接OB.由∠ACD＝45176。，DO⊥AC得CD＝CO.由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC，所以DO⊥BC.由∠ACB＝4517
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