20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：87-立體幾何中的向量方法-【含解析】(更新版)
【正文】 悟 B．40176?？梢郧罂臻g中有向線段的長度．(2)點面距離的求法．已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為||＝|| 考點一 直線與平面所成的角 [例1] [2020洛陽市尖子生第一次聯(lián)考]如圖，底面ABCD是邊長為3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝2，DE＝3.(1)求證：平面ACE⊥平面BED.(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值．(3)在線段AF上是否存在點M，使得二面角M－BE－D的大小為60176。BC＝CD＝CO得BO⊥BC.所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB.由三棱臺ABC － DEF得BC∥EF，所以EF⊥DB.(2)解法一 如圖，過點O作OH⊥BD，交直線BD于點H，連接CH.由三棱臺ABC － DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角．由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH為直線CO與平面DBC所成角．設(shè)CD＝2.由DO＝OC＝2，BO＝BC＝，得BD＝，OH＝，所以sin∠OCH＝＝，因此，直線DF與平面DBC所成角的正弦值為.解法二 由三棱臺ABC － DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為θ.如圖，以O(shè)為原點，分別以射線OC，OD為y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系O－xyz.設(shè)CD＝2.由題意知各點坐標如下：O(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)．因此 ＝(0,2,0)，＝(－1,1,0)，＝(0，－2,2)．設(shè)平面BCD的法向量n＝(x，y，z)．由即可取n＝(1,1,1)．所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝.因此，直線DF與平面DBC所成角的正弦值為.考點二例2 解析：設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如圖，以C1為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系C1－xyz.(1)證明：連接C1F，則C1(0,0,0)，A(a，b，c)，E，F(xiàn)，＝，＝，得＝，因此EA∥C1F，即A，E，F(xiàn)，C1四點共面，所以點C1在平面AEF內(nèi)．(2)由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，A1(2,1,0)，＝(0，－1，－1)，＝(－2,0，－2)，＝(0，－1,2)，＝(－2,0,1)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面AEF的法向量，則即可取n1＝(－1，－1,1)．設(shè)n2為平面A1EF的法向量，則同理可取n2＝.因為cos〈n1，n2〉＝＝－，所以二面角A－EF－A1的正弦值為.變式練2．解析：(1)證明：由翻折可得AE⊥EC，因為AE⊥BE，且BE，CE是平面BCE內(nèi)的兩條相交直線，所以AE⊥平面BEC.又BC?平面BEC，所以AE⊥BC.又BC⊥AB，且AE，AB是平面ABE內(nèi)的兩條相交直線，所以CB⊥平面ABE.又CB?平面ABC，所以平面ABE⊥平面ABC.(2)設(shè)BC＝a，則AE＝a，由于AE⊥BE，所以S△ABE＝AEBE＝a.由(1)知CB⊥平面ABE，所以三棱錐B－AEC的體積VB－AEC＝VC－ABE＝S△AB
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