20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：87-立體幾何中的向量方法-【含解析】-閱讀頁
2025-04-05 05:08本頁面
【正文】 ，即A，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)．(2)由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，A1(2,1,0)，＝(0，－1，－1)，＝(－2,0，－2)，＝(0，－1,2)，＝(－2,0,1)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面AEF的法向量，則即可取n1＝(－1，－1,1)．設(shè)n2為平面A1EF的法向量，則同理可取n2＝.因?yàn)閏os〈n1，n2〉＝＝－，所以二面角A－EF－A1的正弦值為.變式練2．解析：(1)證明：由翻折可得AE⊥EC，因?yàn)锳E⊥BE，且BE，CE是平面BCE內(nèi)的兩條相交直線，所以AE⊥平面BEC.又BC?平面BEC，所以AE⊥BC.又BC⊥AB，且AE，AB是平面ABE內(nèi)的兩條相交直線，所以CB⊥平面ABE.又CB?平面ABC，所以平面ABE⊥平面ABC.(2)設(shè)BC＝a，則AE＝a，由于AE⊥BE，所以S△ABE＝AEBE＝a.由(1)知CB⊥平面ABE，所以三棱錐B－AEC的體積VB－AEC＝VC－ABE＝S△ABEEO⊥AB，所以EO＝.在△ACE中，EC＝4，AE＝3，∠AEC＝90176。所以sin∠EFO＝，所以cos∠EFO＝＝，所以二面角E－AC－B的余弦值為.考點(diǎn)三例3 解析：(1)證明：因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE?平面ADEF，DE⊥AD，所以DE⊥平面ABCD.因?yàn)锳C?平面ABCD，所以DE⊥AC.又四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因?yàn)镈E∩BD＝D，DE?平面BED，BD?平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC?平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED.(2)因?yàn)镈A，DC，DE兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－(3,0,0)，F(xiàn)(3,0,2)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，所以＝(3，－3,0)，＝(－3，－3,3)，＝(3,0，－)．設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，則取x＝，得n＝(，2，3)．所以cos〈，n〉＝＝＝－.所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為.(3)假設(shè)在線段AF上存在符合條件的點(diǎn)M，設(shè)M(3,0，t)，0≤t≤2，則＝(0，－3，t)．設(shè)平面MBE的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則，令y1＝t，得m＝(3－t，t,3)．由(1)知CA⊥平面BED，所以是平面BED的一個(gè)法向量，|cos〈m，〉|＝＝＝cos 60176。此時(shí)＝.變式練3．解析：(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥CD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，∴CD⊥AE.(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)E.∵PA＝2，PD＝2，∠PDA＝，∴由余弦定理可得AD＝2，由勾股定理的逆定理得PA⊥AD，由(1)可知CD⊥PA，又AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，∴PA，AB，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AD，PA為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，設(shè)PE＝tPD(t≠0)，G(2，m,0)，則E(0,2t,2－2t)，＝(2，m,0)，＝(2,2，－2)，＝(0,2t,2－2t)．∵AG⊥PC，
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