20xx年全國高中聯(lián)賽一試蘇教版(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取，c=π，則對任意的x∈R，af(x)+bf(x?c)=1，由此得。一般地，由題設(shè)可得，其中且，于是af(x)+bf(x?c)=1可化為，即，所以。由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有，若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。當(dāng)c=2kπ時，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=?1。由(1)、(3)知，所以。5. 設(shè)圓O1和圓O2是兩個定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是（ A ）解：設(shè)圓O1和圓O2的半徑分別是rr2，|O1O2|=2c，則一般地，圓P的圓心軌跡是焦點為OO2，且離心率分別是和的圓錐曲線（當(dāng)r1=r2時，O1O2的中垂線是軌跡的一部份，當(dāng)c=0時，軌跡是兩個同心圓）。當(dāng)r1=r2且r1+r22c時，圓P的圓心軌跡如選項B；當(dāng)02c|r1?r2|時，圓P的圓心軌跡如選項C；當(dāng)r1≠r2且r1+r22c時，圓P的圓心軌跡如選項D。由于選項A中的橢圓和雙曲線的焦點不重合，因此圓P的圓心軌跡不可能是選項A。6. 已知A與B是集合{1，2，3，…，100}的兩個子集，滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且為A∩B空集。若n∈A時總有2n+2∈B，則集合A∪B的元素個數(shù)最多為（ B ）A. 62 B. 66 C. 68 D. 74解：先證|A∪B|≤66，只須證|A|≤33，為此只須證若A是{1，2，…，49}的任一個34元子集，則必存在n∈A，使得2n+2∈B。證明如下：將{1，2，…，49}分成如下33個集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12個；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4個；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13個；{26}，{34}，{42}，{46}共4個。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，從而由抽屜原理可知上述33個集合中至少有一個2元集合中的數(shù)均屬于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，則A、B滿足題設(shè)且|A∪B|≤66。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有四個定點A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一個動點P，則|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值為
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