20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版19(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 并且能表示成不少于60個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，那么這樣的n的個(gè)數(shù)是 ．解：首項(xiàng)為a為的連續(xù)k個(gè)正整數(shù)之和為 Sk=ka+k(k+1)≥． 由Sk≤2000，可得60≤k≤62． 當(dāng)k=60時(shí)，Sk=60a+3059，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950； 當(dāng)k=61時(shí)，Sk=61a+3061，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952； 當(dāng)k=62時(shí)，Sk=62a+3161，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953． 于是，題中的n有6個(gè)．已知θ=arctan ，那么復(fù)數(shù)z=的輻角主值是 ．解：z的輻角主值 argz=arg[(12+5i)2(239－i)] =arg[(119+120i)(239－i)] =arg(28561+28561i)=．在△ABC中，記BC=a , CA=b , AB=c ,若9a2+9b2－19c2=0 , 則= ．解：=====．已知點(diǎn)P在雙曲線－=1上，并且P到這條雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是P到這條雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，那么P的橫坐標(biāo)是 ．解：記半實(shí)軸、半虛軸、半焦距的長(zhǎng)分別為a、b、c，離心率為e，點(diǎn)P到右準(zhǔn)線l的距離為d，則a=4, b=3, c=5, e==, 右準(zhǔn)線l為x==． 如果P在雙曲線右支，則 |PF1|=|PF2|+2a=ed+2a． 從而， |PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a2d， 這不可能；故P在雙曲線的左支，則 |PF2|－|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d． 兩式相加得2|PF2|=2a+2d． 又|PF2|=ed,從而ed=a+d． 故d===16． 因此，P的橫坐標(biāo)為－16=－．已知直線ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么這樣的直線的條數(shù)是 ．解：設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=－0．不妨設(shè)a0，則b0． (1)c=0,a有三種取法，b有三種取法，排除2個(gè)重復(fù)(3x－3y=0,2x－2y=0與x－y=0為同一直線)，故這樣的直線有33－2=7條； (2)c≠0，則a有三種取法，b有三種取法，c有四種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有334=36條． 從而，符合要求的直線有7+36=43條．已知三棱錐SABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于30176。，SA=2，那么三棱錐S—ABC的體積為 ．解：由題設(shè)，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂線定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．設(shè)S在面ABC內(nèi)射影為O，則SO⊥面ABC．由三垂線定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O為△ABC的垂心．又因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，故O為△ABC的中心，從而SA=SB=SC=2． 因?yàn)镃F⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂線定理，EF⊥AB． 所以，∠EFC是二面角HABC的平面角．故∠EFC=30176。， OC=SCcos60176。=2180。=， SO=tan60176。=3． 又 OC=AB，故AB=OC==3． 所以，VSABC=180。180。32180。3=． 三、（本題滿分為20分）已知當(dāng)x ∈[0，1]時(shí)，不等式 x2cosθ－x(1－x)+(1－x) 2sinθ0恒成立，試求θ的取值范圍。解：若對(duì)一切x∈［0，1］，恒有 f(x)=x2cosθ－x(1－x)+(1－x)2sinθ0， 則 cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0. (1
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