20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版17(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 有(A) 0條 (B) 1條 (C)多于1 的有限條 (D) 無窮多條解：在a、b、c上取三條線段AB、CC162。、A162。D162。，作一個平行六面體ABCD—A162。B162。C162。D162。，在c上取線段A162。D162。上一點P，過a、P作 一個平面，與DD162。交于Q、與CC162。交于R，則QR∥a，于是PR不與a平行，但PR與a共面．故PR與a相交．由于可以取無窮多個點P．故選D．二．填空題(每小題9分，共54分)1．設(shè)x，y為實數(shù)，且滿足則x+y = .解：原方程組即取 f(t)=t3+1997t+1，f 162。(t)=3t2+19870．故f(t)單調(diào)增，現(xiàn)x－1=1－y，x+y=2．2．過雙曲線x2－=1的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點，若實數(shù)λ使得|AB| =λ的直線l恰有3條，則λ= ．解：右支內(nèi)最短的焦點弦==4．又2a=2，故與左、右兩支相交的焦點弦長≥2a=2，這樣的弦由對稱性有兩條．故λ=4時設(shè)AB的傾斜角為θ，則右支內(nèi)的焦點弦λ==≥4，當(dāng)θ=90176。時，λ=4．與左支相交時，θ=177。arccos時，λ===4．故λ=4．3．已知復(fù)數(shù)z滿足=1，則z的幅角主值范圍是 ．解：=1219。4r4+(4cos2θ－1)r2+1=0，這個等式成立等價于關(guān)于x的二次方程4x2+(4cos2θ－1)x+1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x1x2=0，故必須x1+x2=－0．∴cos2θ≤－．∴ (2k+1)π－arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos．∴ kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)4．已知三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，設(shè)S、A、B、C四點均在以O(shè)為球心的某個球面上，則點O到平面ABC的距離為 ．解：SA=SB=SC=2，222。S在面ABC上的射影為AB中點H，∴ SH⊥平面ABC．∴ SH上任意一點到A、B、C的距離相等．∵ SH=，CH=1，在面SHC內(nèi)作SC的垂直平分線MO與SH交于O，則O為SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=，∴ OH=，即為O與平面ABC的距離．5．設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一．若在5次之內(nèi)跳到D點，則停止跳動；若5次之內(nèi)不能到達(dá)D點，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共 種．解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三點(染色可證)．青蛙順時針跳1次算+1，逆時針跳1次算－1，寫5個“□1”，在□中填“+”號或“－”號： □1□1□1□1□1規(guī)則可解釋為：前三個□中如果同號，則停止填寫；若不同號，則后2個□中繼續(xù)填寫符號．前三□同號的方法有2種；前三個□不同號的方法有23－2=6種，后兩個□中填號的方法有22種．∴ 共有2+64=26種方法．6．設(shè)a =logz+log[x(yz)1+1]，b =logx1+log(xyz+1)，c =logy+log[(xyz)1+1]，記a，b，c中最大數(shù)為M，則M的最小值為 ．解：a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y)．∴ a+c=log(++yz+x)≥2log2．于是a、c中必有一個≥log2．即M≥log2，于是M的最小值≥log2．但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此時M=log2．于是M的最小值≤log2．∴ 所求值=log2．三、（本題滿分20分）設(shè)x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘積cosx siny cosz的最大值和最小值．解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－2=．∴ cosx siny cosz=cosx[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值． (由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，當(dāng)y=z=，x=時，cosx siny cosz=．∵ cosx siny cosz=cosz[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)
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