20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行-閱讀頁(yè)
2024-12-06 23:22本頁(yè)面
【正文】 個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量都平行另一個(gè)平面 。 ?? ?? = ( x1, y1, z1) ?? ?? = ( x1, y1, z1) ?? ?? = ( x2, y2, z2) ?? ?? = ( x2, y2, z2) b = 0 . 2 . 線面垂直 ( 1 ) 設(shè)直線 l 的方向向量為 a ,平面 α 的法向量是 u ,若要證 l ⊥ α ,只需證a ∥ u . ( 2 ) 根據(jù)線面垂直的判定定理 . 3 . 面面垂直 ( 1 ) 根據(jù)面面垂直的判定定理 . ( 2 ) 證明兩個(gè)平面的法向量垂直 ,則可證明兩個(gè)平面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 5 】 在正方體 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 為 AC 的中點(diǎn) . 證明 : ( 1 ) BD 1 ⊥ AC 。 b = 0 . 探究一 探究二 探究三 證明 :以 D 為原點(diǎn) , DA , DC , DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D x yz. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1 ,則 B ( 1 , 1 , 0 ), D1( 0 , 0 , 1 ), A ( 1 , 0 , 0 ), C ( 0 , 1 , 0 ), E 12,12, 0 , B1( 1 , 1 , 1 ) . 探究一 探究二 探究三 ( 1 ) ?? ??1 = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ∴ ?? ??1 ?? ??1 = ( 1 ) 12+ ( 1 ) 12+ 1 1 = 0 , ∴ ?? ??1 ⊥ ?? ??1 , ∴ BD1⊥ EB1. 探究一 探究二 探究三 點(diǎn)評(píng) 向量 a , b 的數(shù)量積 a ?? ??1 =12( a + b + c ) a +c ?? ??1 = ( 1 , 1 , 1 ) ?? ?? = ( 1 , 1 , 1 ) ( 2 ) EG 是 PG 與 BC 的公垂線 . 思路分析 :證明面面垂直通常有兩種方法 ,一是利用面面垂直的判定定理 ,轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直證明 。 ?? ?? = 0 , ∴ n ⊥ ?? ?? ,即平面 PBC 的法向量與平面 EFC 的法向量互相垂直 , ∴ 平面 EFG ⊥ 平面 P B C . 探究一 探究二 探究三 ( 2 ) ∵ ?? ?? = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 3 , 3 ), ∴ ?? ?? ?? ?? = 3 3 = 0 , ∴ EG ⊥ PG , EG ⊥ BC , ∴ EG 是 PG 與 BC 的公垂線 . 點(diǎn)評(píng) 用空間向量法證明立體幾何中的垂直問(wèn)題 ,主要運(yùn)用了直線的方向向量和平面的法向量 ,同 時(shí)也要借助空間中已有的一些關(guān)于垂直的定理 .比種類型的題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想 ,以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想 . 1 2 3 4 5 1 . 若直線 l 的方向向量為 a , 平面 α 的法向量為 n , 直線 l 不在平面 α 內(nèi) , 則能使 l ∥ α 的是 ( ) A . a = ( 1 , 0 , 0 ), n = ( 2 , 0 , 0 ) B. a = ( 1 , 3 , 5 ), n = ( 1 , 0 , 1 ) C. a = ( 0 , 2 , 1 ), n = ( 1 , 0 , 1 ) D. a = ( 1 , 1 , 3 ), n = ( 0 , 3 , 1 ) 解析 :欲使 l ∥ α ,則需 a ⊥ n ,即 a ( 2 ) AC1∥ 平面 C DB1. 1 2 3 4 5 證明 : ∵ 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面的三邊長(zhǎng) A C = 3 , B C = 4 , AB= 5 , ∴ AC , BC , C1C 兩兩垂直 . 如圖 ,以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,直線 CA , CB , CC1分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 , 則 C ( 0 , 0 , 0 ), A ( 3 , 0 , 0 ), C1( 0 , 0 , 4 ), B ( 0 , 4 , 0 ), B1( 0 , 4 , 4 ), D 32, 2 , 0 . ( 1 ) ∵ ?? ?? = ( 3 , 0 , 0 ), ?? ??1 = ( 0 , 4 , 4 ) , ∴ ?? ?? ( 2 ) PB ⊥ 平面 E F D. 1 2 3 4 5 證明 :如圖所示 ,建立空間直角坐標(biāo)系 , D 是坐標(biāo)原點(diǎn) ,設(shè) DC = a . ( 1 ) 連接 AC , AC 交 BD 于點(diǎn) G ,連接 E G. 依題意 , 得 A ( a , 0 , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), E 0 ,??2,??2 . ∵ 底面 A B C D 是正方形 , ∴ G 是正方形 A B C D 的中心 . 故點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 ??2,??2, 0 , 且 ?? ?? = ( a , 0 , a ), ?? ?? = ??2, 0 , ??2 . ∴ ?? ?? = 2 ?? ?? . ∴ PA ∥ E G. 而 EG ? 平面 E DB ,且 PA ? 平面 E DB , ∴ PA ∥ 平面 E DB . 1 2 3 4 5 ( 2 ) 依題意 ,得 B ( a , a , 0 ), ∴ ?? ?? = ( a , a , a ) . 又 ?? ?? = 0 ,??2,??2 , 故 ?? ?? BD = x + y = 0 ,??1 n2= 0 , ∴ 平面 B DE ⊥ 平面 A B C D.
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