20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25夾角的計(jì)算-閱讀頁
2024-12-06 23:22本頁面
【正文】 n =?? 32a|?? | DE = 0 ,?? ??|?? || ?? |=1 7= 77. ∴ 平面 ABD 與平面 EFD 夾角的余弦值為 77. 探究一 探究二 探究三 探究四 易錯(cuò)點(diǎn) 混淆二面角與平面間的夾角而致誤 【典型例題 5 】 已知四邊形 A B CD 為矩形 , PA ⊥ 平面 A B CD. 設(shè)P A = A B = a , B C= 2 a , 求二面角 B PC D 的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 錯(cuò)解 :建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 B ( a , 0 , 0 ), C ( a , 2 a , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), D ( 0 , 2 a , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 2 a , 0 ), ?? ?? = ( a , 0 , a ), ?? ?? = ( a , 0 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 2 a , a ) . 設(shè)平面 PBC ,平面 P C D 的法向量分別為 n1= ( x1, y1, z1), n2= ( x2, y2, z2), 則有 ??1 BP = 0和 ??2 PD = 0 . 即 2 ?? ??1= 0 , ?? ??1+ a ??1= 0和 ?? ??2= 0 ,2 ?? ??2 a ??2= 0 . 令 x1= 1 ,則 n1= ( 1 , 0 , 1 ), 令 y2= 1 ,則 n2= ( 0 , 1 , 2 ), 所以 co s ?? n1, n2?? =??1 ??2| ??1|| ??2|= 105. 觀察圖形知二面角 B PC D 為鈍角 , 所以二面角 B PC D 的余弦值為 105. 1 2 3 4 1 . 在長方體 A B C D A1B1C1D1中 , 已知 AB= 4 , A D = 3 , AA1= 2 , E , F 分別是線段AB , BC 上的點(diǎn) , 且 E B = F B = 1 , 則直線 EC1與 FD1夾角的余弦值是 ( ) A . 2114 B. 1421 C.27 D.121 解析 :如圖 ,以 D 為原點(diǎn) , DA , DC , D D1 的方向 為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 , 則 E ( 3 , 3 , 0 ), F ( 2 , 4 , 0 ), D1( 0 , 0 , 2 ), C1( 0 , 4 , 2 ) . 所以 E C1 = ( 3 , 1 , 2 ), F D1 = ( 2 , 4 , 2 ), 所以 co s E C1 , F D1 =E C1 , SA ⊥ 平面AB C D , SA= AB = B C = 1 , AD=12, 則平面 SC D 和平面 SAB 夾角的余弦值是 . 1 2 3 4 解析 :建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 , 則 A ( 0 , 0 , 0 ), D 12, 0 , 0 , C ( 1 , 1 , 0 ), S ( 0 , 0 , 1 ), 平面 SAB 的一個(gè)法向量是 AD = 12, 0 , 0 . 設(shè) n = ( x , y , z ) 是平面 S C D 的法向量 ,則 n ⊥ ?? ?? , n ⊥ ?? ?? . 即 n ?? ?? = 0 .又 ?? ?? = 12, 1 , 0 , ?? ?? = 12, 0 , 1 , ∴12x+ y= 0 ,且 12x+ z = 0 , 令 x= 1 ,得 n = 1 , 12,12 . ∴ co s ?? ?? , n =AD |?? |=1212 AP = 0 ,?? ( 0 , 0 , 1 ) = 0 ,( ?? , ?? , ?? ) , y39。 ), 則 ?? CP = 0 , ∴ ( ?? 39。, ?? 39。 ( 2 , 0 , 0 ) = 0 ,( ?? 39。, ?? 39。 ( 0 , 1 , 1 ) = 0 , ∴ ?? 39。 = ?? 39。= 1 ,則 n = ( 0 , 1 , 1 ), ∴ co s m , n =?? 1
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