20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)311橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-閱讀頁(yè)
2024-12-06 23:22本頁(yè)面
【正文】 = 9 . ∴ 所求橢圓的方程為??225+??29= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) ∵ 橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上 , ∴ 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) . 由橢圓的定義 ,知 2 a= 32 2+ 52+ 2 2+ 32 2+ 52 2 2= 2 10 .即a= 10 . 又 c= 2 , ∴ b2=a2 c2= 6 . ∴ 所求橢圓的方程為??210+??26= 1 . 反思 根據(jù)已知條件 ,判定焦點(diǎn)的位置 ,設(shè)出橢圓的方程是解決此題的關(guān)鍵 . 探究一 探究二 探究三 探究四 焦點(diǎn)三角形問題 橢圓上一點(diǎn) P 與橢圓的兩焦點(diǎn) F1, F2構(gòu)成的 △ F1PF2稱為焦點(diǎn)三角形 ,解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)要充分利用橢圓的定義 ,三角形中的正弦定理、余弦定理等知識(shí) .對(duì)于求焦點(diǎn)三角形的面積 ,若已知 ∠ F1PF2,可利用 S=12ab s in C 把 | P F1| | P F2|及余弦定理求出 | P F1| + | P F2| ,而無(wú)須單獨(dú)求出 ,這樣可以減少運(yùn)算量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知橢圓??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) 上一點(diǎn) P , F1, F2為橢圓的焦點(diǎn) , 若 ∠ F1PF2= θ , 求 △ PF1F2的面積 . 思路分析 :根據(jù)橢圓的定義可知 | P F1| + | P F2|= 2 a ,兩邊平方可得| P F1|2+ | P F2|2+ 2 | P F1| | P F2| co s ∠ F1PF2= 4 c2,兩式相減可求 | P F1| | P F2| s in θ 求面積 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : 如圖所示 ,由橢圓定義 ,得 | P F1| + | P F2|= 2 a. 而在 △ PF1F2中 ,由余弦定理得 | P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| | P F2| 2 | P F1| | P F2| ( 1 + c o s θ ) . ∴ ??△ ?? ??1??2=12| P F1| , AB = 2 , AC = 22, 曲線 E 過(guò) C 點(diǎn) , 動(dòng)點(diǎn) P 在 E 上運(yùn)動(dòng) , 且保持 | PA | + | PB |的值不變 , 求曲線 E 的方程 . 解 :如圖 ,以 AB 所在直線為 x 軸 ,線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 ,建立直角坐標(biāo)系 . 在 Rt △ AB C 中 , BC= A C2+ A B2=3 22. ∵ | PA | + | PB | = | C A | + | C B | = 22+3 22=2 2 , 又 | PA | + | PB | | AB | , ∴ 由橢圓的定義知 ,動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡即曲線 E 為橢圓 , a= 2 , c= 1 , ∴ b = 1 . ∴ 曲線 E 的方程為x22+y2=1.
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