20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)232空間向量基本定理-展示頁
2024-11-28 23:22本頁面
【正文】 16 1 2 3 4 5 5 . 如圖所示 , 在平行六面體 AB C D A1B1C1D1中 , E , F 分別在 B1B 和 D1D 上 ,且 B E =13BB1, DF =23DD1. ( 1 ) 求證 : A , E , C1, F 四點共面 。 空間向量基本定理 課程目標 學(xué)習(xí)脈絡(luò) 1 . 了解空間向量基本定理及其意義 , 會在簡單問題中選用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量 . 2 . 使學(xué)生體會從平面到空間的過程 , 進一步培養(yǎng)學(xué)生對空間圖形的想象能力 . 空間向量基本定理 ( 1 ) 如果向量 e 1 , e 2 , e 3 是空間三個不共面的向量 , a 是空間任一向量 , 那么存在唯一一組實數(shù) λ 1 , λ 2 , λ 3 , 使得 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 . 空間中不共面的三個向量 e 1 , e 2 , e 3 叫作這個空間的一個 基底 . a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 表示向量 a 關(guān)于基底e 1 , e 2 , e 3 的 分解 . ( 2 ) 特別地 , 當(dāng)向量 e 1 , e 2 , e 3 兩兩垂直時 , 就得到這個向量的一個正交分解 .當(dāng) e 1 = i , e 2 = j , e 3 = k 時 , 就是 標準正交分解 . 思考 如何正確理解空間向量基本定理 ? 提示 : ( 1 ) 空間向量基本定理表明 ,用空間三個不共面的已知向量可以線性表示出空間任意一個向量 ,而且表示的結(jié)果是唯一的 . ( 2 ) 空間任意三個不共面的向量 e1, e2, e3皆可構(gòu)成空間向量的一個基底 ,因此 ,基底有無數(shù)個 ,所以基底的選擇范圍很廣 ,但在具體的題目或幾何體中往往選擇具有特殊關(guān)系的三個不共面向量作為基底 . ( 3 ) 由于 0 可視為與任意一個非零向量共線 ,與任意兩個非零向量共面 ,所以三個向量不共面 ,就隱含著它們都不是 0 . 探究一 探究二 探究三 基底的判斷 三個向量構(gòu)成空間的一個基底的充要條件是不共面 .因此 ,要證明三個向量不共面 ,通常用反證法結(jié)合共面向量來證明 .具體解題時 ,可取空間不共面的四點 ,將其中之一作為起點與其他各點相連即可得到空間的一個基底 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 1 】 已知 e1, e2, e3是空間的一個基底 , 且 ?? ?? = e1+ 2 e2 e3, ?? ?? = 3 e1+ e2+ 2 e3, ?? ?? = e1+ e2 e3, 試判斷 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 能否作為空間的一個基底 ?若能 , 試以此基底表示向量 ?? ?? = 2 e1 e2+ 3 e3。 若不能 , 請說明理由 . 思路分析 :判斷 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 能否作為空間的一個基底 ,關(guān)鍵是判斷?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 是否共面 ,解決此題可利用反證法 . 解 :假設(shè) ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 共面 ,由向量共面的充要條件知存在實數(shù) x , y ,使?? ?? =x ?? ?? +y ?? ?? 成立 . ∴ e1+ 2 e2 e3=x ( 3 e
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