20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)232空間向量基本定理-wenkub.com
2024-11-12 23:22 本頁面
【正文】 若不能 , 請說明理由 . 思路分析 :判斷 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 能否作為空間的一個基底 ,關(guān)鍵是判斷?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 是否共面 ,解決此題可利用反證法 . 解 :假設(shè) ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 共面 ,由向量共面的充要條件知存在實數(shù) x , y ,使?? ?? =x ?? ?? +y ?? ?? 成立 . ∴ e1+ 2 e2 e3=x ( 3 e1+ e2+ 2 e3) +y ( e1+ e2 e3) = ( 3 x+ y ) e1+ ( x + y ) e2+ ( 2 x y ) e3, ∴ e1, e2, e3是空間的一個基底 , ∴ e1, e2, e3不共面 , 探究一 探究二 探究三 ∴ 3 ?? + ?? = 1 ,?? + ?? = 2 ,2 ?? ?? = 1 ,此方程組無解 ,即不存在實數(shù) x , y 使 ?? ?? =x ?? ?? +y ?? ?? , ∴ ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 不共面 . 故 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 能作為空間的一個基底 . 設(shè) ?? ?? =p ?? ?? +q ?? ?? +z ?? ?? ,則有 2 e1 e2+ 3 e3 =p ( e1+ 2 e2 e3) +q ( 3 e1+ e2+ 2 e3) +z ( e1+ e2 e3) = ( p 3 q + z ) e1+ ( 2 p + q + z ) e2+ ( p+ 2 q z ) e3, 探究一 探究二 探究三 ∵ e1, e2, e3為空間的一個基底 , ∴ ?? 3 ?? + ?? = 2 ,2 ?? + ?? + ?? = 1 , ?? + 2 ?? ?? = 3 ,解之 ,得 ?? = 17 ,?? = 5 ,?? = 30 , ∴ ?? ?? = 17 ?? ?? 5 ?? ?? 30 ?? ?? . 點評 判斷三個向量能否作為基底 ,關(guān)鍵是判斷它們是否共面 ,若從正面判斷難以入手 ,可以用反證法結(jié)合共面向量定理或利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷 . 探究一 探究二 探究三 用基底表示向量 利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法 ,將需要表示的向量用與它相關(guān)聯(lián)的三個向量線性表示 ,充分利用三角形法則或平行四邊形法則 ,直至轉(zhuǎn)化為只用基向量表示 .用基向量表示空間向量時 ,思維習(xí)慣不同 ,則表示的難易程度、轉(zhuǎn)化的步驟也有所不同 ,但由空間向量基本定理 ,可知結(jié)果是唯一確定的 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 2 】 如圖 , 在空間四邊形 OA B C 中 , G , H 分別是 △ ABC , △ OB C 的重心 , 設(shè) ?? ?? = a , ?? ?? = b , ?? ?? = c , 試用向量 a , b , c 表示向量 ?? ??
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