【正文】 P，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】~N（2，），且P{2X4}=，則P{X0}= . 【解】故 因此 ，；，(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求（1） 全部能出廠的概率α；（2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ. 【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，）,故 ，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則X~N（72，）故 查表知 ,即σ=12從而X~N（72，122）故 、200V~240V和超過(guò)240V三種情形下，（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求：（1） 該電子元件損壞的概率α。~N（0，），問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因?yàn)? 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點(diǎn)且惟一。在上，當(dāng)時(shí)，sinx0，f(x)也不是密度函數(shù)。(x)不是密度函數(shù)。(C) [π/2,0]。選（C）[a,b]上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ）(A) [0,π/2]。F（x）=則F（x）是（ ）隨機(jī)變量的分布函數(shù).（A） 連續(xù)型； （B）離散型；（C） 非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕（x）在（∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。從而③亦為0。（2）=，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 X2 1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/30{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 ~N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1） 當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)y0時(shí)， 故 (2)當(dāng)y≤1時(shí)當(dāng)y1時(shí) 故 (3) 當(dāng)y≤0時(shí)當(dāng)y0時(shí) 故~U（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當(dāng)時(shí)當(dāng)1ye時(shí)當(dāng)y≥e時(shí)即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0X1）=1知當(dāng)z≤0時(shí)，當(dāng)z0時(shí)， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)0y1時(shí)， 當(dāng)y≥1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為：試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知②填1。,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 （小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200＝≥，允許σ最大不超過(guò)多少？【解】 故 F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；（3） 求分布密度f(wàn)（x）.【解】（1）由得（2） (3) f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x1時(shí) 當(dāng)1≤x2時(shí) 當(dāng)x≥2時(shí)故 （1） f(x)=,λ0。 (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)， 故 ，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開(kāi)始150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；（2） 在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x100時(shí)F（x）=0當(dāng)x≥100時(shí) 故 ［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為故當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時(shí)當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)[2，5]，求至少有2次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為（以分鐘計(jì)），以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為,即其分布律為，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車開(kāi)車只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開(kāi)車時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.~N（3，22），（1） 求P{2X≤5}，P{4X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}。（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，）,Y~b(3,)(1) + (2) =，(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道，則有即 利用泊松近似查表得N≥.，每天有大量汽車通過(guò)，,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，） {X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故 所以 .，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，）(2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，）（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) {X=k}=, k=0,1,2P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}.【解】因?yàn)椋?而 故得 即 從而 ，試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,).利用泊松近似計(jì)算,得 ，成功的概率為，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，：（1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題 一1．.，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3） A，B，C都發(fā)生； （4） A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；（5） A，B，C都不發(fā)生； （6） A，B，C不都發(fā)生；（7） A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生； （8） A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5) = (6) (7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.，B為隨機(jī)事件，且P（A）=,P(AB)=，求P（）.【解】 P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[]=，B是兩事件，且P（A）=,P(B)=,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當(dāng)AB=A時(shí)，P（AB）.（2） 當(dāng)A∪B=Ω時(shí)，P（AB）.，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=7.從52張撲克牌中任意取出13張，問(wèn)有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】 p=8.對(duì)一個(gè)5人學(xué)習(xí)小組考慮生日問(wèn)題：（1） 求5個(gè)人的生日都在星期日的概率； （2） 求5個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3） 求5個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1={5個(gè)人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故 P（A1）==（）5 （亦可用獨(dú)立性求解，下同）（2） 設(shè)A2={5個(gè)人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故P（A2）==()5(3) 設(shè)A3={5個(gè)人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1()59..，（nN）.試求其中恰有m件（m≤M）正品（記為A）：（1） n件