【正文】 （3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x0時F（x）=0當(dāng)0≤x1時 當(dāng)1≤x2時 當(dāng)x≥2時故 （1） f(x)=,λ0。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。(x)不是密度函數(shù)。由X~N（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因為P（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當(dāng)y≤e2時FY（y）=P(Y≤y)=0. 當(dāng)e2ye4時， 當(dāng)y≥e4時，即 故 fX(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考)【解】P（Y≥1）=1當(dāng)y≤1時，當(dāng)y1時， 即 故 fX(x)=,求Y=1的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 （t）服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下，再無故障運(yùn)行8小時的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當(dāng)t0時，當(dāng)t≥0時，事件{Tt}與{N(t)=0}等價，有即 即間隔時間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。當(dāng)t≥0時，利用卷積公式得故得由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨立，所以D（T）=D（T1+T2）=.，Y相互獨立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X Y，由于且X和Y相互獨立，故Z~N（0，1）.因 而 ，所以 .(0p1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨立，當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時，求E（X）和D（X）. 【解】記q=1 p, X的概率分布為P{X=i}=qi 1p,i=1,2,…，故又 所以 題29圖（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY) E(X)P(B)所以，|ρ|≤1.36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y)。（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 ，其中9個合格品，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P由此可得 （以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺設(shè)備凈盈利Y只有兩個值：100元和 200元 故 (元).，X2，…，Xn是相互獨立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.（1） 驗證=μ， =；（2） 驗證S2=；（3） 驗證E（S2）=σ2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 ，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= 1,計算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨立性，當(dāng)|x|≤1時， 當(dāng)|y|≤1時，.顯然故X和Y不是相互獨立的.（X，Y）的分布律為XY 1 0 1 1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表101X 101 PY 101 PXY 101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)（λ），每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進(jìn)入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購買某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有 此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1當(dāng)y≤0時，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0y1時，即Y的密度函數(shù)為即Y~U（0，1）f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0≤k≤1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時P（Xk）=若1≤k≤3時P（Xk）=若3k≤6，則P（Xk）=若k6,則P（Xk）=1故只有當(dāng)1≤k≤3時滿足P（X≥k）=.F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X113P，求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？ 【解】~N（2，），且P{2X4}=，則P{X0}= . 【解】故 因此 ，；，(n≥2)臺儀器（假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立）.求（1） 全部能出廠的概率α；（2） 其中恰好有兩臺不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率θ. 【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則X~6（n，）,故 ，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語成績，則X~N（72，）故 查表知 ,即σ=12從而X~N（72，122）故 、200V~240V和超過240V三種情形下，（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求：（1） 該電子元件損壞的概率α。(C) [π/2,0]。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。 (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當(dāng)x0時，當(dāng)x≥0時， 故 ，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2） 在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x100時F（x）=0當(dāng)x≥100時 故 ［0，a］上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這質(zhì)點的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為故當(dāng)x0時F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時當(dāng)xa時，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)[2，5]，求至少有2次的觀測值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為（以分鐘計），以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）.（1） 若動身時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.~N（3，22），（1） 求P{2X≤5}，P{4X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}。（2） 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險公司獲利不少于20000） 即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%f(x)=Ae|x|, ∞x+∞,求：（1）A值；（2）P{0X1}。即，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}。 (B) [0,π]。故當(dāng)時X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。（2） E（X）。P(),Cov(X,Y)=P(AB) P(A)E(Y)].由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 [ 2,2