【正文】 }，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對(duì)稱性知P（A）=P（B）（1） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】 令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反乙反）由對(duì)稱性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=46.證明“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P（A）≥P(B).【證】由P（A|C）≥P(B|C),得即有 同理由 得 故 ，有k(k≥n).【解】 設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的}，（i=1,…,n）,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε：不論ε0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國徽}B={這只硬幣為正品}由題知 則由貝葉斯公式知 （Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以BB2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2nr次，設(shè)n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr次火柴視作2nr重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率為51.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.【解】因?yàn)椋ˋ∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求  故所求值為0.，A，B和C滿足條件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按題設(shè)P（A）,故P（A）=.，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.【解】 ① ②故 故 ③由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有 故 故 或（舍去）即P（A）=.y (a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？【解】利用幾何概率來求，故所求概率為56.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】 設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、從中先后抽出兩份.（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】設(shè)Ai={報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生}，i=1,2,3.Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.則 (1) (2) 而 故 58. 設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（B）0,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小. (2006研考)解：因?yàn)? 所以 .習(xí)題二，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0當(dāng)0≤x1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 當(dāng)1≤x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1故X的分布函數(shù)(3) ，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P分布函數(shù)4.（1） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=，其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知故 (2) 由分布律的性質(zhì)知即 .、乙兩人投籃，,今各投3次，求：（1） 兩人投中次數(shù)相等的概率。（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，）,Y~b(3,)(1) + (2) =，，(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,)，設(shè)機(jī)場需配備N條跑道，則有即 利用泊松近似查表得N≥.，每天有大量汽車通過，,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，） {X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故 所以 .，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，）(2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，）（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) {X=k}=, k=0,1,2P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}.【解】因?yàn)椋?而 故得 即 從而 ，試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,).利用泊松近似計(jì)算,得 ，成功的概率為，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，：（1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率。（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%f(x)=Ae|x|, ∞x+∞,求：（1）A值；（2）P{0X1}。 (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)， 故 ，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2） 在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x100時(shí)F（x）=0當(dāng)x≥100時(shí) 故 ［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為故當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時(shí)當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)[2，5]，求至少有2次的觀測值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為（以分鐘計(jì)），以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.~N（3，22），（1） 求P{2X≤5}，P{4X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}。（2） 確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1） (2) c=3（cm）X~N（,）,177。,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 （小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200＝≥，允許σ最大不超過多少？【解】 故 F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) f（x