【正文】 ，已知 P(A) = P(B)＝ P(C)＝ 14 ， P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18 求 A、 B、 C 中至少有一個發(fā)生的概率 . 解 由于 , ( ) 0 ,??ABC AB P AB故 P(ABC) = 0 則 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 1 1 1 1 50 0 04 4 4 8 8? ? ? ? ? ? ? ? 6. 設(shè)盒中有 α只紅球和 b 只白球，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出兩只球，試求下列事件的概率： A＝ {兩球顏色相同 }， B＝ {兩球顏色不同 }. 解 由題意，基本事件總數(shù)為 2abA? ，有利于 A 的事件數(shù)為 22abAA? ，有利于 B 的事件數(shù)為 1 1 1 1 1 12a b b a a bA A A A A A??, 則 2 2 1 1222( ) ( )a b a ba b a bA A A AP A P BAA????? 7. 若 10 件產(chǎn)品中有 7 件正品， 3 件次品 , （ 1）不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （ 2）每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率 . 解 （ 1）設(shè) A={取得三件次品 } 則 331 0 1 016( ) ( )1 2 0 7 2 0或 者? ? ? ?CAP A P A. （ 2）設(shè) B={取到三個次品 }, 則 333 2 7() 1 0 1 0 0 0??PA. 8. 某旅行社 100 名導(dǎo)游中有 43 人會講英語， 35 人會講日語， 32 人會講日語和英語，9 人會講法語、英語和日語，且每人至少會講英、日、法三種語言中的一種，求： （ 1）此人會 講英語和日語，但不會講法語的概率； （ 2）此人只會講法語的概率 . 解 設(shè) A={此人會講英語 }, B={此人會講日語 }, C={此人會講法語 } 根據(jù)題意 , 可得 (1) 3 2 9 2 3( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 1 0 0? ? ? ? ?P A B C P A B P A B C (2) ( ) ( ) ( )P A B C P A B P A B C?? ( ) 0 1 ( )P A B P A B? ? ? ? ? ? 1 ( ) ( ) ( )P A P B P AB? ? ? ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 3 頁 (共 96 頁 ) 4 3 3 5 3 2 5 41 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0? ? ? ? ? 9. 罐中有 12 顆圍棋子，其中 8 顆白子 4 顆 黑子，若從中任取 3 顆，求： （ 1） 取到的都是白子的概率； （ 2） 取到兩顆白子，一顆黑子的概率； （ 3） 取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率； （ 4） 取到三顆棋子顏色相同的概率 . 解 (1) 設(shè) A={取到的都是白子 } 則 38312 14( ) 0 .2 5 555? ? ?CPA C. (2) 設(shè) B={取到兩顆白子 , 一顆黑子 } 2184312( ) 0 .5 0 9??CCPB C. (3) 設(shè) C={取三顆子中至少的一顆黑子 } ( ) 1 ( ) ? ? ?P C P A. (4) 設(shè) D={取到三顆子顏色相同 } 3384312( ) 0 .2 7 3???CCPD C. 10. （ 1） 500 人中，至少有一個的生日是 7 月 1 日的概率是多少 (1 年按 365 日計算 )？ （ 2） 6 個人中，恰好有 4 個人的生日在同一個月的概率是多少？ 解 (1) 設(shè) A = {至少有一個人生日在 7 月 1 日 }, 則 500500364( ) 1 ( ) 1 0 .7 4 6365? ? ? ? ?P A P A (2)設(shè)所求的概率為 P(B) 4 1 26 1 26 11( ) 0 .0 0 7 312????CCPB 11. 將 C， C， E， E， I， N， S 7 個字母隨意排成一行，試求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 解 由于兩個 C，兩個 E 共有 22AA 種排法，而基本事件總數(shù)為 77A ，因此有 222277 0 .0 0 0 7 9 4AAp A?? 12. 從 5 副不同的手套中任取款 4 只，求這 4 只都不配對的概率 . 解 要 4 只都不配對， 我們先取出 4 雙，再從每一雙中任取一只，共有 ?445 2C 中取法 . 設(shè) A={4 只手套都不配對 }，則有 ???4454102 80() 210CPA C 13. 一實習(xí)生用一臺機(jī)器接連獨立地制造三只同種零件，第 i 只零件是不合格的概概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 4 頁 (共 96 頁 ) 率為 ? ?11ip i ， i=1， 2， 3，若以 x 表示零件中合格品的個數(shù)，則 P(x=2)為多少？ 解 設(shè) Ai = {第 i 個零件不合格 }， i=1,2,3, 則 1() 1iiP A p i??? 所以 ( ) 1 1ii iP A p i? ? ? ? 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 2 ) ( ) ( ) ( )P x P A A A P A A A P A A A? ? ? ? 由于零件制造相互獨立，有： 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A? ， 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A? 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A? 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1, ( 2 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4Px ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 14. 假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為 ，這時射擊命中目標(biāo)的概率為 ，試求兩次獨立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率 p. 解 設(shè) A={目標(biāo)出現(xiàn)在射程內(nèi) }， B={射擊擊中目標(biāo) }， Bi ={第 i 次擊中目標(biāo) }, i=1,2. 則 P(A)=, P(Bi|A)= 另外 B=B1+B2，由全概率公式 12( ) ( ) ( )( ) ( ) ( | )( ) ( ( ) | )P B P A B P A BP A B P A P B AP A P B B A?????? 另外 , 由于兩次射擊是獨立的 , 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 由加法公式 P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－ P(B1B2|A)=+= 因此 P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)= = 15. 設(shè)某種產(chǎn)品 50 件為一批，如果每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為 ，有 1， 2，3， 4 件次品的概率分別為 , , , ，今從某批產(chǎn)品中抽取 10 件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中次品不超過兩件的概率 . 解 設(shè) Ai ={一批產(chǎn)品中有 i 件次品 }， i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取 10 件檢查出一件次品 }, C={產(chǎn)品中次品不超兩件 }, 由題意 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 5 頁 (共 96 頁 ) 0191 491 1050192 482 1050193 473 1050194 461 1050( | ) 01( | )516( | )4939( | )98988( | )2303?????????P B ACCP B ACCCP B ACCCP B ACCCP B AC 由于 A0, A1, A2, A3, A4 構(gòu)成了一個完備的事件 組 , 由全概率公式 40( ) ( ) ( | ) 0 .1 9 6???? iiiP B P A P B A 由 Bayes 公式 000111222( ) ( | )( | ) 0()( ) ( | )( | ) 0. 25 5()( ) ( | )( | ) 0. 33 3()??????P A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB 故 20( ) ( | ) 0 .5 8 8???? iiP C P A B 16. 由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸某種物品損壞 2%， 10%和 90%的概率分別為 ， ， ，現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是多少（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出一件后不影響下一件的概率） . 解 設(shè) B={三件都是好的 }， A1={損壞 2%}, A2={損壞 10%}, A3={損壞 90%}，則A1, A2, A3 是兩兩互斥 , 且 A1+ A2 +A3=Ω , P(A1)=, P(A2)=, P(A2)=. 因此有 P(B| A1) = , P(B| A2) = , P(B| A3) = , 由全概率公式 31333( ) ( ) ( | ) 8 5 0 5 0 624??? ? ? ? ? ? ?? iiiP B P A P B A 由 Bayes 公式 , 這批貨物的損壞率為 2%, 10%, 90%的概率分別為 313233( ) ( | ) ( | ) 31( ) 24( ) ( | ) ( | ) 68( ) 24( ) ( | ) ( | ) 01( ) 24?? ? ??? ? ??? ? ?iiiiP A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB 由于 P( A1|B) 遠(yuǎn)大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以認(rèn)為這批貨物的損壞率為 . 17. 驗收成箱包裝的玻璃器皿，每箱 24 只裝，統(tǒng)計資料表明，每箱最多有兩只殘次品，且含 0， 1 和 2 件殘次品的箱各占 80%， 15%和 5%，現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中 4 只；若未發(fā)現(xiàn)殘次品，則通過驗收，否則要逐一檢驗并更換殘概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 6 頁 (共 96 頁 ) 次品，試求： （ 1）一次通過驗收的概率α； （ 2）通過驗收的箱中確定無殘次品的概率β . 解 設(shè) Hi={箱中實際有的次品數(shù) }, 0,1,2?i , A={通過驗收 } 則 P(H0)=, P(H1)=, P(H2)=, 那么有： 04231 4244222 424( | ) 1,5( | ) ,695( | )138P A HCP A HCCP A HC????? (1)由全概率公式 20( ) ( ) ( | ) 0 . 9 6? ?? ? ?? iiiP A P H P A H (2)由 Bayes 公式 得 00( ) ( | ) 0 .8 1( | ) 0 .8 3( ) 0 .9 6? ?? ? ? ?i P H P A HP H A PA 18. 一建筑物內(nèi)裝有 5 臺同類型的空調(diào)設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時刻，每臺設(shè)備被 使用的概率為 ，問在同一時刻 （ 1）恰有兩臺設(shè)備被使用的概率是多少？ （ 2）至少有三臺 設(shè)備被使用的概率是多少？ 解 設(shè) 5 臺設(shè)備在同一時刻是否工作是相互獨立的 , 因此本題可以看作是 5 重伯努利試驗 . 由題意，有 p=, q=1?p=, 故 (1) 2 2 31 5 5( 2) ( ) ( ) 72 9? ? ?P P C (2) 2 5 5 5(3 ) ( 4) (5 )P P P P? ? ? 3 3 2 4 4 1 5 5 05 5 5( 0. 1 ) ( 0. 9) ( 0. 1 ) ( 0. 9) ( 0. 1 ) ( 0. 9) 0. 00 85 6C C C? ? ? ? 19. 甲、乙兩個乒乓球運動員進(jìn)行乒乓球單打比賽，如果每一局甲勝的概率為 ，乙勝的概率為 ，比賽時可以采用三局二勝制或五局三勝制，問在哪一種比賽制度下甲獲勝的可能性 較大？ 解 在三局兩勝時 , 甲隊獲勝的概率為 332 2 1