【正文】 求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù)：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數(shù)為（3）分布，其密度函數(shù)為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3） 若是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）（為正整數(shù)）證：（1）若是隨機變量的特征函數(shù)，則是隨機變量的特征函數(shù)；（2）若與獨立同分布，其特征函數(shù)為。故 設(shè)隨機變量服從分布，隨機變量在時的條件分布為，求的分布及關(guān)于的條件分布。求條件下的條件分布密度。 （設(shè)都是連續(xù)型或離散型隨機變量）：（1）若與都有階矩，則有)(2)若與都具有階矩，則證：（1）時，即所謂的明可夫斯基不等式，證明略。解：=，試證：。 證：。證：。由于，所以。 設(shè)為正的且獨立同分布的隨機變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的，有。 地下鐵道列車的運行間隔時間為五分鐘，一個旅客在任意時刻進(jìn)入月臺，求候車時間的數(shù)學(xué)期望與方差。 = 設(shè)隨機變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望與方差。 隨機變量具有密度函數(shù)其中求常數(shù)及。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。解 ， ， 。 設(shè)隨機變量具有密度函數(shù)求。證：由于，所以與不獨立。解：在時，在時。 設(shè)隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。證：由得。解：服從上的均勻分布，(2)知，在時，的分布函數(shù)所以的分布密度為 設(shè)隨機變量與獨立，分別服從參數(shù)為與的指數(shù)分布，求的分布密度。 設(shè)隨機變量與獨立，分別具有密度函數(shù)（其中），求+的分布密度。解： ，當(dāng)時，當(dāng)時，所以 設(shè)隨機變量與獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。所以與的分布函數(shù)相同。解：因為在任一有限區(qū)間上的概率均大于，所以是嚴(yán)格上升函數(shù)。 隨機變數(shù)在任一有限區(qū)間上的概率均大于（例如正態(tài)分布等），其分布函數(shù)為，又服從上的均勻分布。又因關(guān)于或關(guān)于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關(guān)。同理。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)，使得故。 證明：若隨機變數(shù)與自己獨立，則必有常數(shù)，使。當(dāng)時。證：的分布函數(shù)為設(shè)的分布函數(shù)、的聯(lián)合分布函數(shù)分別為。解： 設(shè)的密度函數(shù)為求與中至少有一個小于的概率。3．25 設(shè)二維隨機變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解：當(dāng)，時， ===所以 設(shè)二維隨機變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（3） 求。 （4）， 所以不是一個分布函數(shù)。 （2）時 =， 時， =， 所以對、左連續(xù)。 可見，對非降。當(dāng)時，； 當(dāng)時。解：（1） =； （2） =即所以即 證明：二元函數(shù) 對每個變元單調(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個分布函數(shù)。因此，該方程有實根的概率。 解：當(dāng)且僅當(dāng) （1）成立時，方程有實根。 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率（即用電量除以一萬度），它具有分布密度為若該城市每天的供電量僅有80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解： 因此，若該城市每天的供電量為80萬度，,若每天的供電量為90萬度。（2）（3）解：（2），所以A=。 已知隨機變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（2） 求。證明也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因為與都是分布函數(shù)，當(dāng)時，于是又所以，也是分布函數(shù)。 證：（1） = = ； （2），由（1）知1 故上式右端=2； （3）。解：（1）當(dāng)時，且=1，所以可以是某個隨機變量的分布密度； （2）因為=2，所以不是隨機變量的分布密度； （3）當(dāng)時，所以 不是隨機變量的分布密度。從而。 設(shè)隨機變量，相互獨立，分別服從參數(shù)為與的普哇松分布，試證： 證明 由普哇松分布的可加性知+服從參數(shù)為+的普哇松分布，所以 設(shè)，…，為個相互獨立隨機變量，且服從同一幾何分布，即有。解 (1) .(2) , 在次貝努里試驗中，事件出現(xiàn)的概率為，令求在的條件下，的分布列。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認(rèn)為每次檢查到不合格品的概率都是，問平均每批要檢查多少件？解 略。解 略。解 設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為，則，利用上題的結(jié)論，+=1+ 從一個裝有個白球、個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。從而。 設(shè)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機變量，證明：(1) 。 把數(shù)字任意在排成一列，如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)，則的分布列為，因而。證 令為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則，所以++。解 設(shè)場地面積為，邊長的誤差為米，則且所以 對三架儀器進(jìn)行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為、。 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、…、10克，現(xiàn)有三組砝碼： （甲組）1，2，2，5，10（克） （乙組）1，2，3，4，10（克） （丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少？解 設(shè)、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數(shù)，則有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 所以，用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少。解， +4+4=27：，求及。 設(shè)為獨立同分布的離散型隨機變量，其分布列為 求的分布列。解 設(shè)獨立隨機變量分別服從二項分布：與，求的分布列。 已知離散型隨機變量的分布列為，求的分布列。 已知隨機變量的分布列為，求與的分布列。同理。）證明 設(shè)。但是，因而不相互獨立。 證明因為所以相互獨立。 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求的聯(lián)合分布列及邊際分布列。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別為、求的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。解 。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于2．14 ，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個產(chǎn)品，其中有個次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當(dāng)于，查普哇松分布數(shù)值表，得。 一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上（每一頁的印刷符號超過500個）。求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。