【正文】 5．將一硬幣拋擲三次，以表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫(xiě)出與的聯(lián)合分布律與邊緣分布．解 的可能取值為0,1,2,3；的可能取值為1,3，即正面出現(xiàn)1次或2次時(shí)=1，正面出現(xiàn)3次或0次時(shí)=3. ，，所求概率分布為 1 3 0 0 1 0 2 0 3 0 1．設(shè)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求的聯(lián)合分布函數(shù)；（3） 求 與 ．解（1）由密度函數(shù)的性質(zhì) 得 （2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)為其他情況時(shí)，所以，聯(lián)合分布函數(shù)為 （3） 2．設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為 試求：（1）聯(lián)合密度函數(shù)及的邊緣密度函數(shù)．（2）求概率．解 （1）對(duì)分布函數(shù)求偏導(dǎo)可得的概率密度函數(shù)為 故X的邊緣密度函數(shù)， 同理Y的邊緣密度函數(shù) ．（2） ．3．設(shè)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù) ；（2） 求邊緣密度；（3） 求 與 ．解（1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知所以，得 （2）的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為（3） 4．設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為（1） 求邊緣密度函數(shù)； （2） 求 ．解 (1) 的邊緣密度為 的邊緣密度函數(shù)為 (2) 5．設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為（1） 求隨機(jī)變量的密度函數(shù) ；（2） 求概率 ．解（1）的邊緣概率密度為 （2）6．設(shè)在 上服從均勻分布，試證明分別服從和上的均勻分布．證明 因?yàn)閰^(qū)域的面積，所以的聯(lián)合分布密度為 的邊緣密度函數(shù)為 的邊緣密度函數(shù)為 所以X,Y分別服從區(qū)間上的均勻分布?，F(xiàn)按考試成績(jī)從高分到低分依次錄用2500人，試問(wèn)被錄用者中最低分為多少？解 用隨機(jī)變量X表示考試成績(jī)，則則有 ，整理后得解方程組得 設(shè)錄用者中最低分?jǐn)?shù)為a，則有，即，查表得a=可見(jiàn)。6．某汽車(chē)站為職工上班方便每日特地安排了兩趟定員均為30人的早班車(chē)，分別于7：20和7：30準(zhǔn)時(shí)開(kāi)車(chē)．已知汽車(chē)站周邊每日有50名職工要趕這兩班車(chē)上班，每名職工都獨(dú)自趕往車(chē)站，且每人到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻均勻分布于7：15 ～ 7：30之間．試求：（1） 任何1名職工在7：15 ～ 7：20之間到達(dá)車(chē)站的概率；（2） 有職工在7：15 ～ 7：20之間到達(dá)車(chē)站但卻須乘第二班車(chē)上班的概率 （只給出表達(dá)式，不必計(jì)算） ．解　(1) 因?yàn)槊咳说竭_(dá)車(chē)站的時(shí)刻均勻分布于7:157:30之間，所以任意一名職工在7:157:20之間到達(dá)車(chē)站的概率為　 (2) 設(shè)在7:157:20之間到達(dá)車(chē)站的乘客人數(shù)為，根據(jù)題意，而所求概率為　　　　　　　　　　7． 隨機(jī)變量隨機(jī)變量，若，計(jì)算的值，求 解 因，所以，查表得 解之得 查表得 8．某單位招聘員工，共有10000人報(bào)考。2．一條公共汽車(chē)路線的兩個(gè)站之間，有四個(gè)路口處設(shè)有信號(hào)燈，假定汽車(chē)經(jīng)過(guò)每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過(guò)，遇到紅燈或黃燈則停止前進(jìn)，求汽車(chē)開(kāi)出站后，在第一次停車(chē)之前已通過(guò)的路口信號(hào)燈數(shù)目X的概率分布（不計(jì)其他因素停車(chē)）．解 X可以取0，1，2，3，4. , 3．一盒中有6個(gè)球，在這6個(gè)球上標(biāo)注的數(shù)字分別為3，3,1,1,1,2，現(xiàn)從盒中任取一球，試取得的球上標(biāo)注的數(shù)字的分布律及分布函數(shù)．解 的全部可能取值為3,1,3 1 2 故的分布函數(shù)為4．據(jù)調(diào)查有同齡段的學(xué)生，他們完成一道作業(yè)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，單位為小時(shí)．它的密度函數(shù)為（1）確定常數(shù)；（2）寫(xiě)出的分布函數(shù)；（3）試求出在20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的概率；（4）試求10分鐘以上完成一道作業(yè)的概率．解 (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有　　　　　 　由，有　　　　　　　　 ?。?）X的分布函數(shù)為（3） P{ 20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的}= (4) P{10分鐘以上完成一道作業(yè)}=5. 某工廠為了保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工．如果各臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，試在以下各種情況下，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率．（1）一名維修工負(fù)責(zé)20臺(tái)設(shè)備．（2）3名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備．（3）10名維修工負(fù)責(zé)500臺(tái)設(shè)備． 解 (1) 由題意,用X表示20臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則用參數(shù)的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為 (2) 用Y表示90臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則用參數(shù)的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為由這一結(jié)論說(shuō)明，在這種情況下不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備相當(dāng)于每個(gè)維修工負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，工作效率顯然高于（1）中，是（1）。 1) = ( ). ，且，則（ ）.，則（ 100 ）.，則（ ）. ， 則的分布函數(shù)為（ ）.，則（ ）.，則的密度函數(shù)為（ ）.，則（ ）二 、選擇題1．下列函數(shù)為某隨機(jī)變量密度函數(shù)的是( ) ．(a) (b) (c) (d ) 2．設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為且，是的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（ ）．3．設(shè)與分別為隨機(jī)變量與的分布函數(shù)，為使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取（ （a） ） (a) (b) (c) (d) ．4．設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則（ (d) ）．5． 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，則的分布函數(shù)為（ (c) ）．6．設(shè)一個(gè)零件的使用壽命X的密度函數(shù)為，則三個(gè)這樣的零件中恰好有一個(gè)的使用壽命超過(guò)1000的概率為（ (b) ） ．.7．設(shè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，分布函數(shù)是，則正確的結(jié)論是（ (b) ）8．下列函數(shù)中不是正態(tài)密度函數(shù)的為（ (b) ）．9．設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為, 則的密度函數(shù)為（ (c) ）．(a) (b) (c) (d) 10．若隨機(jī)變量服從均勻分布，則的密度函數(shù)為（ (d) ）． 三、解答題1．如果, n=1,2.188。而三個(gè)元件的壽命是三個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則故4．設(shè)隨機(jī)變量的密度為試求（1） 常數(shù)；（2）的分布函數(shù)．解 (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有　　　　　 　(2)　由，有　　　　　　　　 　于是，X的分布函數(shù)為.5．已知連續(xù)隨機(jī)變量的密度為（1） 求的分布函數(shù)；（2） 計(jì)算 , ．解 (1)由分布函數(shù)的定義，有 　　　　　　 　 　　 6．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定、并求 ． 解　因X為連續(xù)型隨機(jī)變量，故其分布函數(shù)在上連續(xù)，從而解得 　于是　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 1．設(shè)隨機(jī)變量在[2，5]上服從均勻分布．現(xiàn)對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率．解 因?yàn)殡S機(jī)變量X服從均勻分布，故其密度函數(shù)為 易得 設(shè)A表示“對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，至少有兩次的觀測(cè)值大于3的”事件，則2．設(shè)隨機(jī)變量服從 [0 ，5] 上的均勻分布，求關(guān)于x的二次方程 = 0有實(shí)數(shù)根的概率．解 的二次方程有實(shí)根的充要條件是它的判別式　　　　 即　　 　解得　　或由假設(shè)，在區(qū)間上服從均勻分布，其概率密度為　　　　 故所求概率為　　　 3．設(shè) ，求：（1） 的分布函數(shù)；（2） ；（3） 常數(shù) ，使= ．解 由題知，即的概率密度為 （1）由定義 當(dāng)時(shí)，　 當(dāng)時(shí)， 所以，的分布函數(shù)為 (2) (3) 由題知　，則　4．某種電腦顯示器的使用壽命（單位：千小時(shí)）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布．生產(chǎn)廠家承諾：購(gòu)買(mǎi)者使用1年內(nèi)顯示器損壞將免費(fèi)予以更換．（1） 假設(shè)用戶一般每年使用電腦2000小時(shí)，求廠家須免費(fèi)為其更換顯示器的概率；（2） 顯示器至少可以使用10000小時(shí)的概率為何？（3） 已知某臺(tái)顯示器已經(jīng)使用10000小時(shí)，求其至少還能再用10000小時(shí)的概率．解　因?yàn)榉膮?shù)為的指數(shù)分布，所以的密度函數(shù)為 (1) (2) (3) 5．設(shè) ，求：（1） ， ， ；（2） 常數(shù) ，使= ．解　(1) 因?yàn)楣视小　　　　　? 　　　　　　　 　 (2)由 得　　　　　　　　　　　　　　即　　　　 于是　　　　　　 6．某種電池的使用壽命（單位：小時(shí)）是一個(gè)隨機(jī)變量， ．（1） 求其壽命在250小時(shí)以上的概率；（2） 求一允許限x ，使落入?yún)^(qū)間（300 － x ，300 ＋ x） ．解　(1) 由，可得　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　 (2) 由題意，知　　 即　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　 查表得　則　，即．7．某高校一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布 ，其中90分以上的占學(xué)生總數(shù)的4 ％ ．求：（1） 數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生的百分比；（2） 數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5 ～ 80分之間的學(xué)生的百分比．解 先求方差. 因?yàn)?0分以上的占學(xué)生總數(shù)的4%, 所以有　　　　　 即　　 　　 　從而　　　　　 查表可知，則．于是.(1) 數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生的百分比為(2) 數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜种g的學(xué)生的百分比為1．設(shè)的分布列為－2－101求及的概率分布．解 將函數(shù)值相同的概率相加，得隨機(jī)變量的概率分布為　　　　　　　 　隨機(jī)變量的概率分布為　　　　　　　 　2．設(shè) ，求 的概率密度．解　因?yàn)?，所以的密度函?shù)為由于函數(shù)單增且其反函數(shù)故Y = 的概率密度函數(shù)為3．設(shè) = ，求的密度．解 函數(shù)單增且其反函數(shù)，故Y = ln X的密度函數(shù)為．4．設(shè)服從 的指數(shù)分布，證明 在區(qū)間 [0 ，1] 上服從均勻分布．證 由定義知，的分布函數(shù)為　　 當(dāng)時(shí)，　　當(dāng)時(shí)，　　當(dāng)時(shí)，　　　　　　 由服從的指數(shù)分布，故因而所以隨機(jī)變量的分布函數(shù)為　　　　　　　　　　 即證得在區(qū)間上服從均勻分布．5．隨機(jī)變量服從[0, ]上的均勻分布，, 求的概率密度.解 由于在上單調(diào)，于是在上，　　　　　 ?。蛛S機(jī)變量服從[0, ]上的均勻分布，因此綜合練習(xí)二一、 填空題， 則（ 6 ）. 2. , 連取三次, 每次一件(有放回), 則取到的次品次數(shù)服從的概率分布為（ ）.3. 設(shè)隨機(jī)變量X～B(2, p), Y～B(3, p), 若P(X 179。 14．有某商店過(guò)去的銷(xiāo)售記錄知道，某種商品每月的銷(xiāo)售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來(lái)描述．為了以95%以上的把握保證不脫銷(xiāo)，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？ 解 設(shè)該商店每月銷(xiāo)售這種商品數(shù)為X，月底進(jìn)貨為a件，則為了時(shí)不脫銷(xiāo)，故有 由于上式即為查表可知 于是，這家商店只要在月底進(jìn)貨這種商品9件（假定上個(gè)月沒(méi)有存貨），就可以95%以上的把握保證這種商品在下個(gè)月不會(huì)脫銷(xiāo)。習(xí) 1． 試分別給出隨機(jī)變量的可能取值為可列、有限的實(shí)例． 解 用表示一個(gè)電話交換臺(tái)每小時(shí)收到