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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案下-文庫(kù)吧資料

2025-06-30 20:46本頁(yè)面
  

【正文】 在4以上,求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.【解】,由P(|μ|4)=P|Z|4(σ/n)=,故,即查表得 所以 ~N(μ,16),X1,X2,…,X10是來(lái)自總體X的一個(gè)容量為10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,S2為其樣本方差,且P(S2>a)=,求a之值.【解】查表得 所以 ,X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,試問(wèn)統(tǒng)計(jì)量Y=,n>5服從何種分布?【解】且與相互獨(dú)立.所以~N(20,3)的容量分別為10,.【解】令的容量為10的樣本均值,為容量為15的樣本均值,則~N(20,310), ~N(20,),且與相互獨(dú)立.則那么所以 ~N(0,σ2),X1,…,X10,…,= 服從 分布,參數(shù)為 . 【解】i=1,2,…,15.那么且與相互獨(dú)立,所以所以Y~F分布,參數(shù)為(10,5).~N(μ1,σ2),總體Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,和Y1,Y2,…,分別來(lái)自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則= . 【解】令 則 又那么 ~N(μ,σ2),X1,X2,…,X2n(n≥2)是總體X的一個(gè)樣本,令Y=,求EY. 【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互獨(dú)立.令 則 故 那么所以11. 設(shè)總體X的概率密度為f(x)= (∞x+∞),X1,X2,…,Xn為總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其樣本方差為S2,求E(S2).解: 由題意,得于是 所以.習(xí)題七(n,p),n已知,X1,X2,…,Xn為來(lái)自X的樣本,求參數(shù)p的矩法估計(jì).【解】因此np=所以p的矩估計(jì)量 f(x,θ)=X1,X2,…,Xn為其樣本,試求參數(shù)θ的矩法估計(jì).【解】令E(X)=A1=,因此=所以θ的矩估計(jì)量為 (x,θ),X1,X2,…,Xn為其樣本,求θ的極大似然估計(jì).(1) f(x,θ)=(2) f(x,θ)=【解】(1) 似然函數(shù)由知所以θ的極大似然估計(jì)量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,…,n.由知所以θ的極大似然估計(jì)量為 ,結(jié)果如下:序號(hào)12345678910收益率求這批股民的收益率的平均收益率及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.【解】 由知,即有于是 .[0,θ]上的均勻分布,今得X的樣本觀測(cè)值:,,求θ的矩法估計(jì)和極大似然估計(jì),它們是否為θ的無(wú)偏估計(jì).【解】(1) ,令,則且,所以θ的矩估計(jì)值為且是一個(gè)無(wú)偏估計(jì).(2) 似然函數(shù),i=1,2,…,8.顯然L=L(θ)↓(θ0),那么時(shí),L=L(θ)最大,所以θ的極大似然估計(jì)值=.因?yàn)镋()=E()≠θ,所以=不是θ的無(wú)偏計(jì).,X2,…,Xn是取自總體X的樣本,E(X)=μ,D(X)=σ2, =k,問(wèn)k為何值時(shí)為σ2的無(wú)偏估計(jì).【解】令 i=1,2,…,n1,則 于是 那么當(dāng),即時(shí),有 ,X2是從正態(tài)總體N(μ,σ2)中抽取的樣本試證都是μ的無(wú)偏估計(jì)量,并求出每一估計(jì)量的方差.【證明】(1),所以均是μ的無(wú)偏估計(jì)量.(2) ,其直徑X~N(μ,σ2),由過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)知道σ2=,今隨機(jī)抽取6枚,測(cè)得其長(zhǎng)度(單位mm)如下: .【解】n=6,σ2=,α==,.~N(μ,σ2),σ2已知,問(wèn)需抽取容量n多大的樣本,才能使μ的置信概率為1α,且置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于L?【解】由σ2已知可知μ的置信度為1α的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長(zhǎng)度為,那么由≤L,得n≥~N(μ,σ2),今隨機(jī)抽取20塊磚頭,測(cè)得數(shù)據(jù)如下(kgP(),Cov(X,Y)=P(AB) P(A)P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨(dú)立的定義,即ρ=0是A和B獨(dú)立的充分必要條件.(2) 引入隨機(jī)變量X與Y為 由條件知,X和Y都服從0 1分布,即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)E(Y)].由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 [ 2,2]上服從均勻分布,隨機(jī)變量X= Y=試求(1)X和Y的聯(lián)合概率分布;(2)D(X+Y). 【解】(1) 為求X和Y的聯(lián)合概率分布,就要計(jì)算(X,Y)的4個(gè)可能取值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)及(1,1)的概率.P{x= 1,Y= 1}=P{U≤ 1,U≤1} P{X= 1,Y=1}=P{U≤ 1,U1}=P{}=0,P{X=1,Y= 1}=P{U 1,U≤1}.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2) 因,而X+Y及(X+Y)2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以(x)=,( ∞x+∞)(1) 求E(X)及D(X);(2) 求Cov(X,|X|),并問(wèn)X與|X|是否不相關(guān)?(3) 問(wèn)X與|X|是否相互獨(dú)立,為什么? 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨(dú)立性,需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷,為此,對(duì)定義域 ∞x+∞中的子區(qū)間(0,+∞)上給出任意點(diǎn)x0,則有所以故由得出X與|X|不相互獨(dú)立.(1,32)和N(0,42),且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY= 1/2,設(shè)Z=.(1) 求Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)和方差D(Z);(2) 求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXZ;(3) 問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立,為什么? 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由,所以X與Z也相互獨(dú)立.,. 【解】由條件知X+Y=n,則有D(X+Y)=D(n)=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q),且p=q=,從而有 所以 故= 1.YX 1 0 101 試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ. 【解】由已知知E(X)=,E(Y)=,而XY的概率分布為YX 101P所以E(XY)= +=Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0,從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨(dú)立的.(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布,求Cov(X,Y),ρXY.【解】如圖,SD=,故(X,Y)的概率密度為題18圖
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