【正文】 4110 905100CC 0C ? 5105100C 0C ? 故 ( ) 0 1 2 3 0 4 0 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? 5 20( ) [ ( ) ]iiiD X x E X P???? 2 2 2( 0 0 . 5 0 1 ) 0 . 5 8 3 ( 1 0 . 5 0 1 ) 0 . 3 4 0 ( 5 0 . 5 0 1 ) 00 . 4 3 2 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? X 的分布律為 X ??1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E（ X） =,E(X2)=,求 P1， P2， P3. 【解】 因 1 2 3 1P P P? ? ? …… ① , 又1 2 3 3 1( ) ( 1 ) 0 1 X P P P P P? ? ? ? ? ? ?…… ② , 2 2 2 21 2 3 1 3( ) ( 1 ) 0 1 0. 9E X P P P P P? ? ? ? ? ? ?…… ③ 由①②③聯(lián)立解得 1 2 , , .P P P? ? ? N 只球，其中的白球數(shù) X 為一隨機變量，已知 E（ X） =n，問從袋中任取 1 球為白球的概率是多少？ 【解】記 A={從袋中任取 1 球為白球 }，則 0( ) { | } { }NkP A P A X k P X k? ???全 概 率 公 式 001{ } { }1 ( ) .NNkkk P X k k P X kNNnEXNN??? ? ? ????? X 的概率密度為 f（ x） =????? ??? ??.,0,21,2,10,其他xxxx 求 E（ X）， D（ X） . 【解】12201( ) ( ) d d ( 2 ) dE X x f x x x x x x x????? ? ? ?? ? ? 21 3320 11 ????? ? ? ????????? 122 2 3 201 7( ) ( ) d d ( 2 ) d 6E X x f x x x x x x x????? ? ? ? ?? ? ? 故 22 1( ) ( ) [ ( ) ] .6D X E X E X? ? ? X， Y， Z 相互獨立，且 E（ X） =5， E（ Y） =11， E（ Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望 . （ 1） U=2X+3Y+1； （ 2） V=YZ??4X. 【解】 (1) [ ] ( 2 3 1 ) 2 ( ) 3 ( ) 1E U E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? 2 5 3 11 1 44.? ? ? ? ? ? (2) [ ] [ 4 ] [ ] 4 ( )E V E Y Z X E Y Z E X? ? ? ? , ( ) ( ) 4 ( )Y Z E Y E Z E X?因 獨 立 11 8 4 5 68 .? ? ? ? ? X， Y 相互獨立，且 E（ X） =E（ Y） =3， D（ X） =12， D（ Y） =16，求 E（ 3X??2Y）， D（ 2X??3Y） . 【解】 (1) ( 3 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 3 2 3 X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ? ? (2) 22( 2 3 ) 2 ( ) ( 3 ) 4 12 9 16 192 .D X Y D X D Y? ? ? ? ? ? ? ? ? （ X， Y）的概率密度為 f（ x， y） =??? ???? .,0 ,0,10, 其他 xyxk 試確定常數(shù) k，并求 E（ XY） . 【解】 因100 1( , ) d d d d 1 ,2xf x y x y x k y k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?故k=2 100( ) ( , ) d d d 2 d 0 . 2 5xE X Y x y f x y x y x x y y? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?. X， Y 是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 fX（ x） =??? ?? 。xfxxx? ?????? ??? 1 , 0 3 ,() 30 , 0 , 3.yfyyy? ?????? ??? 因為 X， Y 相互獨立，所以 1 , 0 3 , 0 3 ,( , ) 90 , 0 , 0 , 3 , 3. xyf x yx y x y? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 推得 1{m a x { , } 1} 9P X Y ??. 26. 設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率分布為 ??1 0 1 ??1 0 1 a 0 b 0 c 其中 a,b,c 為常數(shù)，且 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)=??,P{Y≤0|X≤0}=，記Z=X+： （ 1） a,b,c 的值； （ 2） Z 的概率分布； （ 3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知， a+b+c+=1 即 a+b+c = . 由 ( ) ?? ，可得 ? ? ?? . 再由 { 0 , 0 } 0 . 1{ 0 0 } 0 . 5{ 0 } 0 . 5P X Y a bP Y X P X a b? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?, 得 ?? . 解以上關(guān)于 a， b， c 的三個方程得 0. 2 , 0. 1, 0. 1a b c? ? ?. (2) Z 的可能取值為 ?2， ?1， 0， 1， 2， { 2 } { 1 , 1 } 0. 2P Z P X Y? ? ? ? ? ? ? ?， { 1 } { 1 , 0 } { 0 , 1 } Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， X Y { 0 } { 1 , 1 } { 0 , 0 } { 1 , 1 } 0. 3P Z P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， { 1 } { 1 , 0 } { 0 , 1 } Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ?， { 2 } { 1 , 1 } Z P X Y? ? ? ? ?， 即 Z 的概率分布為 Z ?2 ??1 0 1 2 P (3) { } { 0 } 0. 1 0. 2 0. 1 0. 1 0. 2 0. 4P X Z P Y b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.習(xí)題四 X 的分布律為 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（ X）， E（ X2）， E（ 2X+3） . 【解】 (1) 1 1 1 1 1( ) ( 1 ) 0 1 2 。 3{ 0 , }jP X YP X Y j???? ? ???? （ 2 ）{ } { m a x( , ) } { , } { , }P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i? ? ? ? ? ? ? ? ? 100{ , } { , } ,iikkP X i Y k P X k Y i???? ? ? ? ? ??? 0,1, 2,3, 4,5i ? 所以 V 的分布律為 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 (3) { } { m i n( , ) }P U i P X Y i? ? ? 351{ , } { , }{ , } { , }k i k iP X i Y i P X i Y iP X i Y k P X k Y i? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 0,1,2,3,i? 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P (4)類似上述過程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 2 6 3 9 4 9 2 5 R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點（ X， Y）在屏幕上服從均勻分布 . （ 1） 求 P{Y＞ 0｜ Y＞ X}； （ 2） 設(shè) M=max{X， Y}，求 P{M＞ 0}. 題 20 圖 【解】 因（ X， Y）的聯(lián)合概率密度為 2 2 221 ,( , ) π0 , .x y Rf x y R? ???? ??? 其 他 （ 1） { 0 , }{ 0 | }{}P Y Y XP Y Y X P Y X??? ? ? ? 0( , )d( , )dyyxyxf x yf x y?????????? π2π / 4 05 π42π / 4 01ddπ1ddπRRrrRrrR??? ???? 3/8 3。 Y X X Y X Y 21 e , 1,() 20,yYyfy ?? ???? ??? 其 他 . 故/21 e 0 1 , 0 ,( , ) , ( ) ( ) 20 , .yXYxyf x y X Y f x f y ?? ? ? ??? ???獨 立 其 他 題 14 圖 (2) 方程 2 20a Xa Y? ? ?有實根的條件是 2(2 ) 4 0XY? ? ? ? 故 X2≥Y， 從而方程有實根的概率為： 22{ } ( , ) d dxyP X Y f x y x y??? ?? 21/2001d e d21 2 [ (1) ( 0 )]0 .1 4 4 5 .x yxy???? ? ? ? ???? X 和 Y 分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設(shè) X和 Y 相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為 f（ x） =????? ?.,0,1000,10002其他xx 求 Z=X/Y 的概率密度 . 【解】 如圖 ,Z 的分布函數(shù) ( ) { } { }Z XF z P Z z P zY? ? ? ? (1) 當(dāng) z≤0時， ( ) 0ZFz? （ 2） 當(dāng) 0z1 時，（這時當(dāng) x=1000 時 ,y=1000z ） (如圖 a) 3 366102 2 2 21010 10( ) d d d dyzZ zxy zF z x y y xx y x y??????? ? ? 33610 231 0 1 0=d 2z zyy z y?? ????????? 題 15 圖 (3) 當(dāng) z≥1時，（這時當(dāng) y=103時， x=103z）（如圖 b） 33662 2 2 210 1010 10( ) d d d dzyZ xy zF z x y y xx y x y??????? ? ? 3362310 1 0 1 0 1= d 1 2yy z y z?? ??? ? ?????? 即