【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即1 , 31 1 1 { },4 2 4 8 P X x Y y? ? ? ? ? 從而13 1{ , } .12P X x Y y? ? ? 同理21{ } ,2P Y y?? 22 3{ , } 8P X x Y y? ? ? 又 31 { } 1jj P Y y? ???, 故3 1 1 1{ } 1 6 2 3P Y y? ? ? ? ?. 同理2 3{ } .4P X x?? 從而 2 3 3 1 3 1 1 1{ , } { } { , } .3 1 2 4P X x Y y P Y y P X x Y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 1y 2y 3y {}iiP X x P?? 1x 124 18 112 14 2x 18 38 14 34 {}jjP Y y p?? 16 12 13 1 X 服從參數(shù)為 λ(λ0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為 p（ 0p1），且中途下車與否相互獨(dú)立，Y X Y X 以 Y 表示在中途下車的人數(shù)，求：（ 1）在發(fā)車時有 n 個乘客的條件下，中途有 m 人下車的概率；（ 2）二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率分布 . 【解】 (1) { | } C ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 ,m m n mnP Y m X n p p m n n?? ? ? ? ? ? ?. (2) { , } { } { | }P X n Y m P X n P Y m X n? ? ? ? ? ? eC ( 1 ) , , 0 , 1 , 2 , .!m m n m nn p p n m n nn ? ???? ? ? ? ? X 和 Y 獨(dú)立，其中 X 的概率分布為 X~ ???????? 21，而 Y 的概率密度為 f(y)，求隨機(jī)變量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【解】 設(shè) F（ y）是 Y 的分布函數(shù)，則由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函數(shù)為 ( ) { } 0. 3 { | 1 } 0. 7 { | 2 }G u P X Y u P X Y u X P X Y u X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? { 1 | 1 } { 2 | 2 }P Y u X P Y u X? ? ? ? ? ? ? ? 由于 X 和 Y 獨(dú)立，可見 ( ) { 1 } { 2 }G u P Y u P Y u? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2) .F u F u? ? ? ? 由此，得 U 的概率密度為 ( ) ( ) ( 1 ) ( 2)g u G u F u F u? ? ?? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2) .f u f u? ? ? ? 25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間 [0,3]上的均勻分布，求 P{max{X,Y}≤ 1}. 解 ：因?yàn)殡S即變量服從 [0， 3]上的均勻分布，于是有 1 , 0 3 ,() 30 , 0 , 3 。xfxxx? ?????? ??? 1 , 0 3 ,() 30 , 0 , 3.yfyyy? ?????? ??? 因?yàn)?X， Y 相互獨(dú)立，所以 1 , 0 3 , 0 3 ,( , ) 90 , 0 , 0 , 3 , 3. xyf x yx y x y? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 推得 1{m a x { , } 1} 9P X Y ??. 26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率分布為 ??1 0 1 ??1 0 1 a 0 b 0 c 其中 a,b,c 為常數(shù)，且 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)=??,P{Y≤0|X≤0}=，記Z=X+： （ 1） a,b,c 的值； （ 2） Z 的概率分布； （ 3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知， a+b+c+=1 即 a+b+c = . 由 ( ) ?? ，可得 ? ? ?? . 再由 { 0 , 0 } 0 . 1{ 0 0 } 0 . 5{ 0 } 0 . 5P X Y a bP Y X P X a b? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?, 得 ?? . 解以上關(guān)于 a， b， c 的三個方程得 0. 2 , 0. 1, 0. 1a b c? ? ?. (2) Z 的可能取值為 ?2， ?1， 0， 1， 2， { 2 } { 1 , 1 } 0. 2P Z P X Y? ? ? ? ? ? ? ?， { 1 } { 1 , 0 } { 0 , 1 } Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， X Y { 0 } { 1 , 1 } { 0 , 0 } { 1 , 1 } 0. 3P Z P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， { 1 } { 1 , 0 } { 0 , 1 } Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ?， { 2 } { 1 , 1 } Z P X Y? ? ? ? ?， 即 Z 的概率分布為 Z ?2 ??1 0 1 2 P (3) { } { 0 } 0. 1 0. 2 0. 1 0. 1 0. 2 0. 4P X Z P Y b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.習(xí)題四 X 的分布律為 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（ X）， E（ X2）， E（ 2X+3） . 【解】 (1) 1 1 1 1 1( ) ( 1 ) 0 1 2 。8 2 8 4 2EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) 2 2 2 2 21 1 1 1 5( ) ( 1 ) 0 1 2 。8 2 8 4 4EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 1( 2 3 ) 2 ( ) 3 2 3 42E X E X? ? ? ? ? ? ? 100 個產(chǎn)品中有 10 個次品，求任意取出的 5 個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差 . 【解】 設(shè)任取出的 5 個產(chǎn)品中的次品數(shù)為 X，則 X 的分布律為 X 0 1 2 3 4 5 P 5905100C ? 1410 905100CC ? 2310 905100CC ? 3210 905100CC ? 4110 905100CC 0C ? 5105100C 0C ? 故 ( ) 0 1 2 3 0 4 0 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? 5 20( ) [ ( ) ]iiiD X x E X P???? 2 2 2( 0 0 . 5 0 1 ) 0 . 5 8 3 ( 1 0 . 5 0 1 ) 0 . 3 4 0 ( 5 0 . 5 0 1 ) 00 . 4 3 2 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? X 的分布律為 X ??1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E（ X） =,E(X2)=,求 P1， P2， P3. 【解】 因 1 2 3 1P P P? ? ? …… ① , 又1 2 3 3 1( ) ( 1 ) 0 1 X P P P P P? ? ? ? ? ? ?…… ② , 2 2 2 21 2 3 1 3( ) ( 1 ) 0 1 0. 9E X P P P P P? ? ? ? ? ? ?…… ③ 由①②③聯(lián)立解得 1 2 , , .P P P? ? ? N 只球，其中的白球數(shù) X 為一隨機(jī)變量，已知 E（ X） =n，問從袋中任取 1 球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲? 【解】記 A={從袋中任取 1 球?yàn)榘浊?}，則 0( ) { | } { }NkP A P A X k P X k? ???全 概 率 公 式 001{ } { }1 ( ) .NNkkk P X k k P X kNNnEXNN??? ? ? ????? X 的概率密度為 f（ x） =????? ??? ??.,0,21,2,10,其他xxxx 求 E（ X）， D（ X） . 【解】12201( ) ( ) d d ( 2 ) dE X x f x x x x x x x????? ? ? ?? ? ? 21 3320 11 ????? ? ? ????????? 122 2 3 201 7( ) ( ) d d ( 2 ) d 6E X x f x x x x x x x????? ? ? ? ?? ? ? 故 22 1( ) ( ) [ ( ) ] .6D X E X E X? ? ? X， Y， Z 相互獨(dú)立，且 E（ X） =5， E（ Y） =11， E（ Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 . （ 1） U=2X+3Y+1； （ 2） V=YZ??4X. 【解】 (1) [ ] ( 2 3 1 ) 2 ( ) 3 ( ) 1E U E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? 2 5 3 11 1 44.? ? ? ? ? ? (2) [ ] [ 4 ] [ ] 4 ( )E V E Y Z X E Y Z E X? ? ? ? , ( ) ( ) 4 ( )Y Z E Y E Z E X?因 獨(dú) 立 11 8 4 5 68 .? ? ? ? ? X， Y 相互獨(dú)立，且 E（ X） =E（ Y） =3， D（ X） =12， D（ Y） =16，求 E（ 3X??2Y）， D（ 2X??3Y） . 【解】 (1) ( 3 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 3 2 3 X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ? ? (2) 22( 2 3 ) 2 ( ) ( 3 ) 4 12 9 16 192 .D X Y D X D Y? ? ? ? ? ? ? ? ? （ X， Y）的概率密度為 f（ x， y） =??? ???? .,0 ,0,10, 其他 xyxk 試確定常數(shù) k，并求 E（ XY） . 【解】 因100 1( , ) d d d d 1 ,2xf x y x y x k y k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?故k=2 100( ) ( , ) d d d 2 d 0 . 2 5xE X Y x y f x y x y x x y y? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?. X， Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 fX（ x） =??? ?? 。,0 ,10,2 其他xx fY（ y） = ( 5)e , 5,0, .y y??? ??? 其 他 求 E（ XY） . 【解】 方法一：先求 X 與 Y 的均值 10 2( ) 2 d ,3E X x x x??? 5( 5 )5 0 0( ) e d 5 e d e d 5 1 6 .zyy z zE Y y y z z z? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?令 由 X 與 Y 的獨(dú)立性，得 2( ) ( ) ( ) 6 4 .3E X Y E X E Y? ? ? ? 方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式 .因 X 與 Y 獨(dú)立，故聯(lián)合密度為 ( 5 )2 e , 0 1 , 5 ,( ,