【正文】 ????? ?? 其 他 。 Y X X Y X Y 21 e , 1,() 20,yYyfy ?? ???? ??? 其 他 . 故/21 e 0 1 , 0 ,( , ) , ( ) ( ) 20 , .yXYxyf x y X Y f x f y ?? ? ? ??? ???獨(dú) 立 其 他 題 14 圖 (2) 方程 2 20a Xa Y? ? ?有實(shí)根的條件是 2(2 ) 4 0XY? ? ? ? 故 X2≥Y， 從而方程有實(shí)根的概率為： 22{ } ( , ) d dxyP X Y f x y x y??? ?? 21/2001d e d21 2 [ (1) ( 0 )]0 .1 4 4 5 .x yxy???? ? ? ? ???? X 和 Y 分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè) X和 Y 相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為 f（ x） =????? ?.,0,1000,10002其他xx 求 Z=X/Y 的概率密度 . 【解】 如圖 ,Z 的分布函數(shù) ( ) { } { }Z XF z P Z z P zY? ? ? ? (1) 當(dāng) z≤0時(shí)， ( ) 0ZFz? （ 2） 當(dāng) 0z1 時(shí)，（這時(shí)當(dāng) x=1000 時(shí) ,y=1000z ） (如圖 a) 3 366102 2 2 21010 10( ) d d d dyzZ zxy zF z x y y xx y x y??????? ? ? 33610 231 0 1 0=d 2z zyy z y?? ????????? 題 15 圖 (3) 當(dāng) z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng) y=103時(shí)， x=103z）（如圖 b） 33662 2 2 210 1010 10( ) d d d dzyZ xy zF z x y y xx y x y??????? ? ? 3362310 1 0 1 0 1= d 1 2yy z y z?? ??? ? ?????? 即 11 , 1 ,2( ) , 0 1 ,20 , .Zzzzf z z? ?????? ? ??????其 他 故 21 , 1,21( ) , 0 1,20 , .Zzzf z z? ????? ? ??????其 他 （以小時(shí)計(jì)）近似地服從 N（ 160， 202）分布 .隨機(jī)地選取 4 只，求其中沒有一只壽命小于 180 的概率 . 【解】 設(shè)這四只壽命為 Xi(i=1,2,3,4)，則 Xi~N（ 160， 202）， 從而 1 2 3 4 1 2{m in ( , , , ) 1 8 0 } { 1 8 0 } { 1 8 0 }iP X X X X X P X P X? ? ?之 間 獨(dú) 立 34{ 180 } { 180 }P X P X?? 1 2 3 4[ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }]P X P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? 4414418 0 16 0[ 1 { 18 0 }] 120[ 1 ( 1 ) ] ( 58 ) 00 63 .PX ? ? ???? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? X， Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為 P{X=k}=p（ k）， k=0， 1， 2， … ， P{Y=r}=q（ r）， r=0， 1， 2， …. 證明隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律為 P{Z=i}=?? ?ik kiqkp0 )()(， i=0， 1， 2， …. 【證明】 因 X 和 Y 所有可能值都是非負(fù)整數(shù)， 所以 { } { }Z i X Y i? ? ? ? { 0 , } { 1 , 1 } { , 0 }X Y i X Y i X i Y? ? ? ? ? ? ? ? 于是 0{ } { , } ,ikP Z i P X k Y i k X Y?? ? ? ? ?? 相 互 獨(dú) 立0 { } { }ik P X k P Y i k? ? ? ?? 0 ( ) ( )ik p k q i k???? X， Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為 n， p 的二項(xiàng)分布 .證明 Z=X+Y 服從參數(shù)為 2n， p 的二項(xiàng)分布 . 【證明】 方法一： X+Y 可能取值為 0， 1， 2， … ， 2n. 0{ } { , }kiP X Y k P X i Y k i?? ? ? ? ? ?? 00202( ) { }2kiki n i k i n k iikk n kik n kP X i P Y k innp q p qi k innpqi k inpqk?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ???? ??????? 方法二：設(shè) μ1,μ2,…, μn。μ1′,μ2′,… ， μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為 p），則 X=μ1+μ2+…+ μn， Y=μ1′+μ2′+…+ μn′, X+Y=μ1+μ2+…+ μn+μ1′+μ2′+…+ μn′, 所以， X+Y 服從參數(shù)為（ 2n,p)的二項(xiàng)分布 . （ X， Y）的分布律為 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 (1) 求 P{X=2｜ Y=2}， P{Y=3｜ X=0}； （ 2） 求 V=max（ X， Y）的分布律； （ 3） 求 U=min（ X， Y）的分布律； （ 4） 求 W=X+Y 的分布律 . 【解】 （ 1） { 2 , 2 }{ 2 | 2 }{ 2 }P X YP X Y PY??? ? ? ? 50{ 2 , 2 } 1 , 2{ , 2 }iP X YP X i Y???? ? ???? { 3 , 0 }{ 3 | 0 } { 0 }P Y XP Y X PX??? ? ? ? X Y 30{ 0 , 3 } 1 。 3{ 0 , }jP X YP X Y j???? ? ???? （ 2 ）{ } { m a x( , ) } { , } { , }P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i? ? ? ? ? ? ? ? ? 100{ , } { , } ,iikkP X i Y k P X k Y i???? ? ? ? ? ??? 0,1, 2,3, 4,5i ? 所以 V 的分布律為 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 (3) { } { m i n( , ) }P U i P X Y i? ? ? 351{ , } { , }{ , } { , }k i k iP X i Y i P X i Y iP X i Y k P X k Y i? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 0,1,2,3,i? 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P (4)類似上述過程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 2 6 3 9 4 9 2 5 R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（ X， Y）在屏幕上服從均勻分布 . （ 1） 求 P{Y＞ 0｜ Y＞ X}； （ 2） 設(shè) M=max{X， Y}，求 P{M＞ 0}. 題 20 圖 【解】 因（ X， Y）的聯(lián)合概率密度為 2 2 221 ,( , ) π0 , .x y Rf x y R? ???? ??? 其 他 （ 1） { 0 , }{ 0 | }{}P Y Y XP Y Y X P Y X??? ? ? ? 0( , )d( , )dyyxyxf x yf x y?????????? π2π / 4 05 π42π / 4 01ddπ1ddπRRrrRrrR??? ???? 3/8 3。1/2 4?? (2) { 0 } { m a x( , ) 0 } 1 { m a x( , ) 0 }P M P X Y P X Y? ? ? ? ? ? 00131 { 0 , 0 } 1 ( , ) d 1 .44xyP X Y f x y ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? D 由曲線 y=1/x 及直線 y=0， x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（ X， Y）在區(qū)域 D 上服從均勻分布，求（ X， Y）關(guān)于 X的邊緣概率密度在 x=2 處的值為多少？ 題 21 圖 【解】 區(qū)域 D 的面積為 2 2e e011 1 d ln 2 .S x xx? ? ??（ X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 211, 1 e , 0 ,( , ) 20 , .xyf x y x? ? ? ? ??? ??? 其 他 （ X， Y）關(guān)于 X 的邊緣密度函數(shù)為 1/ 2011d , 1 e ,() 220 , .xXyxfx x? ? ? ??? ????其 他 所以 1(2) .4Xf ? 隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（ X， Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值 .試將其余數(shù)值填入表中的空白處 . y1 y2 y3 P{X=xi}=pi x1 x2 1/8 1/8 P{Y=yj}=pj 1/6 1 【解】因 21{ } { , }j j i jiP Y y P P X x Y y?? ? ? ? ??, 故1 1 1 2 1{ } { , } { , },P Y y P X x Y y P X x Y y? ? ? ? ? ? ? 從而11 1 1 1{ , } .6 8 2 4P X x Y y? ? ? ? ? 而 X 與 Y 獨(dú) 立 ， 故{ } { } { , }i j i iP X x P Y y P X x Y y? ? ? ? ?, 從而1 1 111{ } { , } .6 2 4P X x P X x Y y? ? ? ? ? ? 即：1 1 1 1{ } / .2 4 6 4P X x? ? ? 又1 1 1 1 2 1 3{ } { , } { , } { , },P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y?