【正文】 X x x x y y? ? ? ? ??? 從而 222 π π( ) ( ) [ ( ) ] 2 .1 6 2D X E X E X? ? ? ? ? 同理 2π π π( ) , ( ) 2 .4 1 6 2E Y D Y? ? ? ? 又 π /2 π /200 π( ) d s in ( ) d d 1 ,2E X Y x x y x y x y? ? ? ??? 故 2π π π π 4C o v ( , ) ( ) ( ) ( ) 1 .2 4 4 4X Y E X Y E X E Y ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2222 22π 4Co v ( , ) ( π 4) π 8 π 164 .π π π 8 π 32 π 8 π 32( ) ( ) 21 6 2XYXYD X D Y????? ??? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? （ X， Y）的協(xié)方差矩陣為 ?????? 41 11，試求 Z1=X??2Y 和 Z2=2X??Y 的相關(guān)系數(shù) . 【解】 由已知知： D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 從而 12( ) ( 2 ) ( ) 4 ( ) 4 C o v ( , ) 1 4 4 4 1 1 3 ,( ) ( 2 ) 4 ( ) ( ) 4 C o v ( , ) 4 1 4 4 1 4 ,D Z D X Y D X D Y X YD Z D X Y D X D Y X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12C ov ( , ) C ov ( 2 , 2 )Z Z X Y X Y? ? ? 2 C o v ( , ) 4 C o v ( , ) C o v ( , ) 2 C o v ( , )2 ( ) 5 C o v ( , ) 2 ( ) 2 1 5 1 2 4 5 .X X Y X X Y Y YD X X Y D Y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 121212C o v ( , ) 55 ( ) ( ) 1 3 4ZZ ZZD Z D Z? ? ? ?? V， W，若 E（ V2）， E（ W2）存在，證明： ［ E（ VW）］ 2≤E（ V2） E（ W2） . 這一不等式稱為柯西許瓦茲（ Couchy??Schwarz）不等式 . 【證】 令 2( ) {[ ] }, .g t E V tW t R? ? ? 顯然 2 2 2 20 ( ) [ ( ) ] [ 2 ]g t E V tW E V tVW t W? ? ? ? ? ? 2 2 2[ ] 2 [ ] [ ] , .E V t E V W t E W t R? ? ? ? ? 可見此關(guān)于 t 的二次式非負(fù)，故其判別式 Δ≤0， 即 2 2 20 [ 2 ( ) ] 4 ( ) ( )E VW E W E V? ? ? ? 2 2 24 {[ ( ) ] ( ) ( ) }.E V W E V E W?? 故 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( ) } .E VW E V E W? X 服從參數(shù) λ=1/5 的指數(shù)分布 .設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作 2 小時(shí)便關(guān)機(jī) .試求該設(shè)備每次開機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間 Y 的分布函數(shù) F（ y） . 【解】 設(shè) Y 表示每次開機(jī)后無(wú)故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間 X~E(λ),E(X)= 1? =5. 依題意 Y=min(X,2). 對(duì)于 y0,f(y)=P{Y≤y}=0. 對(duì)于 y≥2,F(y)=P(X≤y)=1. 對(duì)于 0≤y2,當(dāng) x≥0 時(shí)，在 (0,x)內(nèi) 無(wú)故障的概率分布為 P{X≤x}=1??e??λx,所以 F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5. 、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中僅裝有 3 件合格品 .從甲箱中任取 3 件產(chǎn)品放乙箱后，求：（ 1）乙箱中次品件數(shù) Z 的數(shù)學(xué)期望；（ 2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率 . 【解】 （ 1） Z 的可能取值為 0， 1， 2， 3， Z 的概率分布為 33336CC{} CkkP Z k ??? , 0,1,2, ? Z=k 0 1 2 3 Pk 120 920 920 120 因此， 1 9 9 1 3( ) 0 1 2 3 .2 0 2 0 2 0 2 0 2EZ ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) 設(shè) A 表示事件 “從 乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品 ”，根據(jù)全概率公式有 30( ) { } { | }kP A P Z k P A Z k?? ? ?? 1 9 1 9 2 1 3 0 2 0 6 2 0 6 2 0 6 4? ? ? ? ? ? ? ? ? X（毫米）服從正態(tài)分布 N（ μ,1），內(nèi)徑小于 10 或大于 12 為不合格品，其余為合格品 .銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤(rùn) T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下關(guān)系 T=???????????.12,5,1210,20,10,1XXX若若若 問(wèn)：平均直徑 μ取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？ 【解】 ( ) { 10 } 20 { 10 12 } 5 { 12 }E T P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? { 1 0 } 2 0 { 1 0 1 2 } 5 { 1 2 }( 1 0 ) 2 0 [ ( 1 2 ) ( 1 0 ) ] 5 [ 1 ( 1 2 ) ]2 5 ( 1 2 ) 2 1 ( 1 0 ) 5 .P X u u P u X u u P X u uu u u uuu? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 故 2 /2d ( ) 12 5 ( 1 2 ) ( 1 ) 2 1 ( 1 0 ) ( 1 ) 0 ( ( ) e ) ,d 2 xET u u xu ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 這 里 得 22(12 ) / 2 (10 ) / 225 e 21 euu? ? ? ?? 兩邊取對(duì)數(shù)有 2211l n 2 5 (1 2 ) l n 2 1 (1 0 ) .22uu? ? ? ? ? 解得 1 2 5 11 1 l n 1 1 l n 1 . 1 9 1 0 . 9 1 2 82 2 1 2u ? ? ? ? ?(毫米 ) 由此可得，當(dāng) u= 毫米時(shí)，平均利潤(rùn)最大 . X 的概率密度為 f(x)=????? ??.,0,0,2co s21其他πxx 對(duì) X 獨(dú)立地重復(fù)觀察 4 次，用 Y 表示觀察值大于 π/3的次數(shù)，求 Y2 的數(shù)學(xué)期望 . （ 2022 研考） 【解】 令 π1 , ,3 ( 1 , 2 , 3 , 4 )π0,3iXYi? ??????? ??? X. 則 41 ~ (4, )iiY Y B p???.因?yàn)? π π{ } 1 { }33p P X P X? ? ? ? ?及 π /30π 11{ } c o s d3 2 2 2xP X x? ? ?? , 所以 1 1 1( ) , ( ) , ( ) 4 2 ,2 4 2iiE Y D Y E Y? ? ? ? ? 2211( ) 4 1 ( ) ( )22D Y E Y E Y? ? ? ? ? ?, 從而 2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 1 2 Y D Y E Y? ? ? ? ? ，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間 Ti(i=1,2)服從參數(shù)為 5 的指數(shù)分布，首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開啟 .試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間 T=T1+T2 的概率密度 fT(t)，數(shù)學(xué)期望 E（ T）及方差 D（ T） . 【解】 由題意知： 55 e , 0 ,()0 , 0ti tft t?? ?? ??? . 因 T1,T2 獨(dú)立，所以 fT(t)=f1(t)*f2(t). 當(dāng) t0 時(shí)， fT(t)=0。 當(dāng) t≥0時(shí)，利用卷積公式得 5 5 ( ) 512 0( ) ( ) ( ) d 5 e 5 e d 2 5 et x t x tTf t f x f t x x x t?? ? ? ? ???? ? ? ??? 故得 52 5 e , 0 ,()0 , 0 .tT ttft t?? ?? ??? 由于 Ti ~E(5),故知 E(Ti)=15 ,D(Ti)= 125 (i=1,2) 因此，有 E(T)=E(T1+T2)=25 . 又因 T1,T2獨(dú)立，所以 D（ T） =D（ T1+T2） = 225 . X， Y 相互獨(dú)立，且都服從均值為 0，方差為 1/2 的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量 |X??Y|的方差 . 【解】 設(shè) Z=X??Y，由于 2211~ 0 , , ~ 0 , ,22X N Y N? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 且 X 和 Y 相互獨(dú)立，故 Z~N（ 0， 1） . 因 22( ) ( ) ( | | ) [ ( | |) ]D X Y D Z E Z E Z? ? ? ? 22( ) [ ( )] ,E Z E Z?? 而 22 / 21( ) ( ) 1 , ( | |) | | e d2 π zE Z D Z E Z z z?? ???? ? ? ? 2 /2022ed π2 π zzz?? ???? ， 所以 2(| |) 1 πD X Y? ? ?. p(0p1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，即停機(jī)檢修 .設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為 X，求 E（ X）和 D（ X） . 【解】 記 q=1??p,X 的概率分布為 P{X=i}=qi??1p,i=1,2,… ， 故 12111( ) ( ) .1 ( 1 )iiiiqpE X i q p p q p q q p?????????? ? ? ? ????????? 又 2 2 1 2 1 11 2 1( ) ( )i i ii i iE X i q p i i q p iq p? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 223 2 211()12 1 1 2 .(1 )iiqpq q pqp q ppq q pq p p p????????? ? ? ????????? ? ? ??? 所以 222 2 22 1 1( ) ( ) [ ( ) ] .ppD X E X E X p p p??? ? ? ? ? 題 29 圖 X 和 Y 的聯(lián)合分布在點(diǎn)（ 0， 1），（ 1， 0）及（ 1， 1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布 .（如圖），試求隨機(jī)變量 U=X+Y 的方差 . 【解】 D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)E(Y)]. 由條件知 X 和 Y 的聯(lián)合密度為 2 , ( , ) ,( , ) 0 , 0 .x y Gf x y t ??? ? ?? { ( , ) | 0 1 , 0 1 , 1 } .G x y x y x y? ? ? ? ? ? ? 從而 11( ) ( , ) d 2 d 2 .X xf x f x y y y x??? ? ?? ? ??? 因此 1 1 12 2 30 0 031( ) ( ) d 2 d , ( ) 2 d ,22XE X x f x x x x E X x x? ? ? ? ?? ? ? 22 1 4 1( ) ( ) [ ( ) ] .2 9 1 8D X E X E X? ? ? ? ? 同理可得 31( ) , ( ) .2 1 8E Y D Y?? 11015( ) 2 d d 2 d d ,12xGE X Y x y x y x x y y?? ? ??? ? ? 5 4 1C o v ( , ) ( ) ( ) ( ) ,1 2 9 3 6X Y E X Y E X E