【文章內(nèi)容簡介】 解：當(dāng)且僅當(dāng) （1）成立時，方程有實根。不等式（1）的解為：或。因此，該方程有實根的概率。 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時），（小時）(1) 求電池壽命在250小時以上的概率； （2）求。解：（1） =； （2） =即所以即 證明：二元函數(shù) 對每個變元單調(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個分布函數(shù)。 證：（1）設(shè)，若，由于，所以，若，則。當(dāng)時，； 當(dāng)時。所以 。 可見，對非降。同理，對非降。 （2）時 =， 時， =， 所以對、左連續(xù)。 （3）。 （4）， 所以不是一個分布函數(shù)。 設(shè)二維隨機變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。解：當(dāng)，時， ===所以 設(shè)二維隨機變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（3） 求。解：（1），所以； （2）時， =，所以 （3） = =。3．25 設(shè)二維隨機變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解： 所以，； 設(shè)二維隨機變數(shù)的密度函數(shù)為求（1）。解： 設(shè)的密度函數(shù)為求與中至少有一個小于的概率。解： 證明：若隨機變數(shù)只取一個值，則與任意的隨機變數(shù)獨立。證：的分布函數(shù)為設(shè)的分布函數(shù)、的聯(lián)合分布函數(shù)分別為。當(dāng)時。當(dāng)時。所以，對任意實數(shù)，都有，故與相互獨立。 證明：若隨機變數(shù)與自己獨立，則必有常數(shù)，使。證：由于，所以。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)，使得故。問與是否獨立？是否不相關(guān)？解：。同理。由于，所以與不相互獨立。又因關(guān)于或關(guān)于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關(guān)。 設(shè)某類電子管的壽命（以小時計）具有如下分布密度：一臺電子管收音機在開初使用的150小時中，三個這類管子沒有一個要替換的概率是多少？三個這類管子全部要替換的概率又是多少？（假設(shè)這三個管子的壽命分布是相互獨立的）解：設(shè)這類電子管的壽命為，則所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為；三個這類管子全部要替換的概率是。 隨機變數(shù)在任一有限區(qū)間上的概率均大于（例如正態(tài)分布等），其分布函數(shù)為，又服從上的均勻分布。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：因為在任一有限區(qū)間上的概率均大于，所以是嚴格上升函數(shù)。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對任意的都成立。所以與的分布函數(shù)相同。 設(shè)隨機變量與獨立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。解： ，當(dāng)時，當(dāng)時，所以 設(shè)隨機變量與獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。 設(shè)隨機變量與獨立，分別具有密度函數(shù)（其中），求+的分布密度。解：時，時， 設(shè)隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的分布。解：服從上的均勻分布，(2)知，在時，的分布函數(shù)所以的分布密度為 設(shè)隨機變量與獨立，分別服從參數(shù)為與的指數(shù)分布，求的分布密度。解：由得，所以在時，在時，所以 設(shè)隨機變量與獨立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。證：由得。故令，則所以服從分布。 設(shè)隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：當(dāng)時，當(dāng)時所以的密度函數(shù)為 設(shè)隨機變量與獨立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解：在時，在時。 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨立，但與獨立。證：由于，所以與不獨立。由于所以對一切的，都有，故與相互獨立。 設(shè)隨機變量具有密度函數(shù)求。解： 設(shè)隨機變量具有密度函數(shù)求及。解 ， ， 。 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。 =。 隨機變量具有密度函數(shù)其中求常數(shù)及。解： =，故。 = 設(shè)隨機變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望與方差。解：。 地下鐵道列車的運行間隔時間為五分鐘，一個旅客在任意時刻進入月臺，求候車時間的數(shù)學(xué)期望與方差。解：設(shè)旅客候車時間為（秒），則服從上的均勻分布，則。 設(shè)為正的且獨立同分布的隨機變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的，有。證：同分布，又，所以都存在且相等。由于，所以。 設(shè)是非負連續(xù)型隨機變量，證明：對，有。證：。 若對連續(xù)型隨機變量，有，證明有。 證：。 已知隨機變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為零。解：=，試證：。證：=，故。 （設(shè)都是連續(xù)型或離散型隨機變量）：（1）若與都有階矩，則有)(2)若與都具有階矩，則證：（1）時，即所謂的明可夫斯基不等式，證明略。在時，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時，故 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布密度為其中。求條件下的條件分布密度。 解：。故 設(shè)隨機變量服從分布，隨機變量在時的條件分布為，求的分布及關(guān)于的條件分布。 解： ，故 ，故在時，的條件分布為。 設(shè)為具有數(shù)學(xué)期望的獨立隨機變量序列，隨機變量只取正整數(shù)值，且與獨立，證明：證： 求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù)：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數(shù)為（3）分布，其密度函數(shù)為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3） 若是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）（為正整數(shù)）證：（1）若是隨機變量的特征函數(shù)，則是隨機變量的特征函數(shù)；（2）若與獨立同分布，其特征函數(shù)為。則是隨機變量的特征函數(shù)；（3）若獨立分布，其特征函數(shù)為。則是隨機變量的特征函數(shù)。 證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應(yīng)的分布函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。證：（1），所以是兩點分布11的特征函數(shù)。（2），所以是三點分布的特征函數(shù)。（3）密度函數(shù)為的指數(shù)分布的特征函數(shù)為，所以是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（4）上均勻分布的特征函數(shù)為，所以互相獨立且同為上均勻分布的兩個隨機變量和的特征函數(shù)為，即是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（5），所以是幾何分布的特征函數(shù)。 試舉一個滿足（1），（2），但是不是特征函數(shù)的例子。解：令則滿足（1），（2），但在點不連續(xù)，故不是特征函數(shù)。 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。解：由于故欲證是特征函數(shù)，僅須驗證是密度函數(shù)由于，所以為特征函數(shù)，其分布函數(shù)為。 設(shè)是一個特征函數(shù)。，證明：也是特征函數(shù)。證：設(shè)與相互獨立，的特征函數(shù)為，服從上的均勻分布，的特征函數(shù)為，則是的特征函數(shù)。 設(shè)為個獨立同柯西分布的隨機變量，證明與有相同的分布。證：柯西分布的特征函數(shù)故的特征函數(shù)為所以與同分布。 設(shè)為獨立同分布的隨機變量，求的分布。解：分布，；，的特征函數(shù)。故的特征函數(shù)為，所以也是分布，其密度函數(shù)為，；。 設(shè)二維隨機變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨立。證： 的特征函數(shù)為。故與的特征函數(shù)皆為，所以的特征函數(shù)等于、的特征函數(shù)的乘積。由，故與不互相獨立。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）不是，因為。 （2）不是，因為當(dāng)時。 （3）不是，因為不成立 （4）不是，因為。 （5）是的，拉普拉斯分布的特征函數(shù)為，所以也是特征函數(shù)。第四章 大數(shù)