【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解：當(dāng)且僅當(dāng) （1）成立時(shí)，方程有實(shí)根。不等式（1）的解為：或。因此，該方程有實(shí)根的概率。 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時(shí)），（小時(shí)）(1) 求電池壽命在250小時(shí)以上的概率； （2）求。解：（1） =； （2） =即所以即 證明：二元函數(shù) 對(duì)每個(gè)變?cè)獑握{(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個(gè)分布函數(shù)。 證：（1）設(shè)，若，由于，所以，若，則。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)。所以 。 可見，對(duì)非降。同理，對(duì)非降。 （2）時(shí) =， 時(shí)， =， 所以對(duì)、左連續(xù)。 （3）。 （4）， 所以不是一個(gè)分布函數(shù)。 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。解：當(dāng)，時(shí)， ===所以 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（3） 求。解：（1），所以； （2）時(shí)， =，所以 （3） = =。3．25 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解： 所以，； 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的密度函數(shù)為求（1）。解： 設(shè)的密度函數(shù)為求與中至少有一個(gè)小于的概率。解： 證明：若隨機(jī)變數(shù)只取一個(gè)值，則與任意的隨機(jī)變數(shù)獨(dú)立。證：的分布函數(shù)為設(shè)的分布函數(shù)、的聯(lián)合分布函數(shù)分別為。當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)。所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，故與相互獨(dú)立。 證明：若隨機(jī)變數(shù)與自己獨(dú)立，則必有常數(shù)，使。證：由于，所以。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)，使得故。問與是否獨(dú)立？是否不相關(guān)？解：。同理。由于，所以與不相互獨(dú)立。又因關(guān)于或關(guān)于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關(guān)。 設(shè)某類電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有如下分布密度：一臺(tái)電子管收音機(jī)在開初使用的150小時(shí)中，三個(gè)這類管子沒有一個(gè)要替換的概率是多少？三個(gè)這類管子全部要替換的概率又是多少？（假設(shè)這三個(gè)管子的壽命分布是相互獨(dú)立的）解：設(shè)這類電子管的壽命為，則所以三個(gè)這類管子沒有一個(gè)要替換的概率為；三個(gè)這類管子全部要替換的概率是。 隨機(jī)變數(shù)在任一有限區(qū)間上的概率均大于（例如正態(tài)分布等），其分布函數(shù)為，又服從上的均勻分布。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：因?yàn)樵谌我挥邢迏^(qū)間上的概率均大于，所以是嚴(yán)格上升函數(shù)。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對(duì)任意的都成立。所以與的分布函數(shù)相同。 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。解： ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，分別具有密度函數(shù)（其中），求+的分布密度。解：時(shí)，時(shí)， 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的分布。解：服從上的均勻分布，(2)知，在時(shí)，的分布函數(shù)所以的分布密度為 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，分別服從參數(shù)為與的指數(shù)分布，求的分布密度。解：由得，所以在時(shí)，在時(shí)，所以 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。證：由得。故令，則所以服從分布。 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以的密度函數(shù)為 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解：在時(shí)，在時(shí)。 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨(dú)立，但與獨(dú)立。證：由于，所以與不獨(dú)立。由于所以對(duì)一切的，都有，故與相互獨(dú)立。 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求。解： 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求及。解 ， ， 。 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。 =。 隨機(jī)變量具有密度函數(shù)其中求常數(shù)及。解： =，故。 = 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望與方差。解：。 地下鐵道列車的運(yùn)行間隔時(shí)間為五分鐘，一個(gè)旅客在任意時(shí)刻進(jìn)入月臺(tái)，求候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望與方差。解：設(shè)旅客候車時(shí)間為（秒），則服從上的均勻分布，則。 設(shè)為正的且獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對(duì)任意的，有。證：同分布，又，所以都存在且相等。由于，所以。 設(shè)是非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，證明：對(duì)，有。證：。 若對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，有，證明有。 證：。 已知隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為零。解：=，試證：。證：=，故。 （設(shè)都是連續(xù)型或離散型隨機(jī)變量）：（1）若與都有階矩，則有)(2)若與都具有階矩，則證：（1）時(shí)，即所謂的明可夫斯基不等式，證明略。在時(shí)，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時(shí)，故 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為其中。求條件下的條件分布密度。 解：。故 設(shè)隨機(jī)變量服從分布，隨機(jī)變量在時(shí)的條件分布為，求的分布及關(guān)于的條件分布。 解： ，故 ，故在時(shí)，的條件分布為。 設(shè)為具有數(shù)學(xué)期望的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，隨機(jī)變量只取正整數(shù)值，且與獨(dú)立，證明：證： 求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù)：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數(shù)為（3）分布，其密度函數(shù)為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3） 若是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）（為正整數(shù)）證：（1）若是隨機(jī)變量的特征函數(shù)，則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（2）若與獨(dú)立同分布，其特征函數(shù)為。則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（3）若獨(dú)立分布，其特征函數(shù)為。則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)。 證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應(yīng)的分布函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。證：（1），所以是兩點(diǎn)分布11的特征函數(shù)。（2），所以是三點(diǎn)分布的特征函數(shù)。（3）密度函數(shù)為的指數(shù)分布的特征函數(shù)為，所以是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（4）上均勻分布的特征函數(shù)為，所以互相獨(dú)立且同為上均勻分布的兩個(gè)隨機(jī)變量和的特征函數(shù)為，即是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（5），所以是幾何分布的特征函數(shù)。 試舉一個(gè)滿足（1），（2），但是不是特征函數(shù)的例子。解：令則滿足（1），（2），但在點(diǎn)不連續(xù)，故不是特征函數(shù)。 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。解：由于故欲證是特征函數(shù)，僅須驗(yàn)證是密度函數(shù)由于，所以為特征函數(shù)，其分布函數(shù)為。 設(shè)是一個(gè)特征函數(shù)。，證明：也是特征函數(shù)。證：設(shè)與相互獨(dú)立，的特征函數(shù)為，服從上的均勻分布，的特征函數(shù)為，則是的特征函數(shù)。 設(shè)為個(gè)獨(dú)立同柯西分布的隨機(jī)變量，證明與有相同的分布。證：柯西分布的特征函數(shù)故的特征函數(shù)為所以與同分布。 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，求的分布。解：分布，；，的特征函數(shù)。故的特征函數(shù)為，所以也是分布，其密度函數(shù)為，；。 設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨(dú)立。證： 的特征函數(shù)為。故與的特征函數(shù)皆為，所以的特征函數(shù)等于、的特征函數(shù)的乘積。由，故與不互相獨(dú)立。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）不是，因?yàn)椤? （2）不是，因?yàn)楫?dāng)時(shí)。 （3）不是，因?yàn)椴怀闪? （4）不是，因?yàn)椤? （5）是的，拉普拉斯分布的特征函數(shù)為，所以也是特征函數(shù)。第四章 大數(shù)