【正文】 知服從大數(shù)定律。記，又。證：不妨設(shè)。證：為同分布隨機(jī)變量序列，且，因而，又當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立，結(jié)論得證。 如果隨機(jī)變量序列，當(dāng)時(shí)有，證明服從大數(shù)定律（馬爾柯夫大數(shù)定律）證：由契貝曉夫不等式即得。，證明的分布函數(shù)弱收斂于分布。 設(shè)隨機(jī)變量序列按分布收斂于隨機(jī)變量，又隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)，則按分布收斂于。，且存在，數(shù)學(xué)期望為零，證明。，每個(gè)隨機(jī)變量的期望為，且方差存在，證明。，都服從上的均勻分布，若，證明。 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為令，證明。 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其中為常數(shù)，令，證明。 設(shè)隨機(jī)變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為證明。證：記的分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為，設(shè)是的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)任給的，存在，使當(dāng)時(shí)有 （1）現(xiàn)任取，使得都是的連續(xù)點(diǎn)，這時(shí)存在，當(dāng)時(shí)有 （2） （3）對(duì)取定的，存在，當(dāng)時(shí)有 （4）于是當(dāng)時(shí)，由（1），（2），（4）式有又因?yàn)橛谑怯桑?），（3），（4）式有 （6）由（5），（6）兩式可得由的任意性即知按分布收斂于，結(jié)論得證。(1)知，結(jié)論得證。證：先證明按分布收斂于。必要性，對(duì)任給的，令，因?yàn)椋蚀嬖诔浞执蟮氖沟卯?dāng)時(shí)有，于是有 ，由的任意性知，結(jié)論為真。結(jié)論成立。證：不妨設(shè)對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)有，因而。對(duì)任給的取足夠大，使有成立，對(duì)取定的，存在，當(dāng)時(shí)有成立這時(shí)有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結(jié)論成立。證：（1）因?yàn)楣始闯闪?。證：對(duì)任意的有，故即對(duì)任意的有成立，于是有從而成立，結(jié)論得證。證：對(duì)任意的，取充分大，使有對(duì)上述取定的，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，故可取它的分點(diǎn)：，使有，再令，則有 （1）這時(shí)存在，使得當(dāng)時(shí)有 （2）成立，對(duì)任意的，必存在某個(gè)，使得，由（2）知當(dāng)時(shí)有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，結(jié)論得證。 設(shè)分布函數(shù)如下定義：?jiǎn)柺欠植己瘮?shù)嗎？解：不是。 （5）是的，拉普拉斯分布的特征函數(shù)為，所以也是特征函數(shù)。 （2）不是，因?yàn)楫?dāng)時(shí)。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。證：由的特征函數(shù)推得，與的特征函數(shù)分別為與，故。由，故與不互相獨(dú)立。 設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨(dú)立。解：分布，；，的特征函數(shù)。證：柯西分布的特征函數(shù)故的特征函數(shù)為所以與同分布。證：設(shè)與相互獨(dú)立，的特征函數(shù)為，服從上的均勻分布，的特征函數(shù)為，則是的特征函數(shù)。 設(shè)是一個(gè)特征函數(shù)。 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。 試舉一個(gè)滿足（1），（2），但是不是特征函數(shù)的例子。（4）上均勻分布的特征函數(shù)為，所以互相獨(dú)立且同為上均勻分布的兩個(gè)隨機(jī)變量和的特征函數(shù)為，即是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（2），所以是三點(diǎn)分布的特征函數(shù)。 證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應(yīng)的分布函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（3）若獨(dú)立分布，其特征函數(shù)為。 解： ，故 ，故在時(shí)，的條件分布為。 解：。在時(shí)，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時(shí)，故 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為其中。證：=，故。 已知隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為零。 若對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，有，證明有。 設(shè)是非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，證明：對(duì)，有。證：同分布，又，所以都存在且相等。解：設(shè)旅客候車時(shí)間為（秒），則服從上的均勻分布，則。解：。解： =，故。 =。 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解： 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求及。由于所以對(duì)一切的，都有，故與相互獨(dú)立。 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨(dú)立，但與獨(dú)立。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以的密度函數(shù)為 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。故令，則所以服從分布。解：由得，所以在時(shí)，在時(shí)，所以 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。解：時(shí)，時(shí)， 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。 = =，其它 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。 = =，其它。解（1）其它。 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，求的分布密度。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對(duì)任意的都成立。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：的反函數(shù)。所以的分布密度。由的密度函數(shù)，得的密度函數(shù)為 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：設(shè)球的直徑為，則其體積為。 設(shè)某類電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有如下分布密度：一臺(tái)電子管收音機(jī)在開初使用的150小時(shí)中，三個(gè)這類管子沒有一個(gè)要替換的概率是多少？三個(gè)這類管子全部要替換的概率又是多少？（假設(shè)這三個(gè)管子的壽命分布是相互獨(dú)立的）解：設(shè)這類電子管的壽命為，則所以三個(gè)這類管子沒有一個(gè)要替換的概率為；三個(gè)這類管子全部要替換的概率是。由于，所以與不相互獨(dú)立。問與是否獨(dú)立？是否不相關(guān)？解：。證：由于，所以。所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，故與相互獨(dú)立。當(dāng)時(shí)。（3） 證明：若隨機(jī)變數(shù)只取一個(gè)值，則與任意的隨機(jī)變數(shù)獨(dú)立。（1）（2）（3）解：（1） （2）時(shí)， 時(shí)， 所以。因此，為使成為二維分布的密度函數(shù)，必需且只需滿足條件（1）和（2）。解： 設(shè)都是一維分布的密度函數(shù)，為使成為一個(gè)二維分布的密度函數(shù)，問其中的必需且只需滿足什么條件？解：若為二維分布的密度函數(shù)，則所以條件得到滿足。解： 設(shè)的密度函數(shù)為求與中至少有一個(gè)小于的概率。3．25 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解：當(dāng)，時(shí)， ===所以 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（3） 求。 （4）， 所以不是一個(gè)分布函數(shù)。 （2）時(shí) =， 時(shí)， =， 所以對(duì)、左連續(xù)。 可見，對(duì)非降。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)。 證明：二元函數(shù) 對(duì)每個(gè)變?cè)獑握{(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個(gè)分布函數(shù)。 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時(shí)），（小時(shí)）(1) 求電池壽命在250小時(shí)以上的概率； （2）求。不等式（1）的解為：或。 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從（0，5）上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。 在半徑為R,球心為O的球內(nèi)任取一點(diǎn)P,求的分布函數(shù)。（1）；（2）（3）解：（1）； （2），所以A=。 已知隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（2） 求。解：因?yàn)?，所以，密度函?shù)為 隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為，求常數(shù)與及相應(yīng)的密度函數(shù)。解：，所以相應(yīng)的密度函數(shù)為。取，又令這時(shí)顯然，與對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不是取有限個(gè)或可列個(gè)值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。 設(shè)與都是分布函數(shù)，又是兩個(gè)常數(shù)，且。 設(shè)隨機(jī)變數(shù)具有對(duì)稱的分布密度函數(shù)，即證明：對(duì)任意的有（1）； （2）P（； （3）。 函數(shù)是不是某個(gè)隨機(jī)變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為（1）；（2）；（3）。 函數(shù)是否可以作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果（1）（2）0，在其它場(chǎng)合適當(dāng)定義；（3），在其它場(chǎng)合適當(dāng)定義。從而。 設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為與的普哇松分布，試證： 證明 由普哇松分布的可加性知+服從參數(shù)為+的普哇松分布，所以 設(shè)，…，為個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量，且服從同一幾何分布，即有。解 (1) .(2) , 在次貝努里試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為，令求在的條件下，的分布列。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認(rèn)為每次檢查到不合格品的概率都是，問平均每批要檢查多少件？解 略。解 略。解 設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為，則，利用上題的結(jié)論，+=1+ 從一個(gè)裝有個(gè)白球、個(gè)黑球的袋中摸球，直至摸到白球時(shí)停止。從而。 設(shè)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，證明：(1) 。 把數(shù)字任意在排成一列，如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個(gè)位置上，則稱有一個(gè)匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，求這兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)，則的分布列為，因而。證 令為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則，所以++。解 設(shè)場(chǎng)地面積為，邊長(zhǎng)的誤差為米，則且所以 對(duì)三架儀器進(jìn)行檢驗(yàn)，各儀器發(fā)生故障是獨(dú)立的，且概率分別為、。 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個(gè)秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、…、10克，現(xiàn)有三組砝碼： （甲組）1，2，2，5，10（克） （乙組）1，2，3，4，10（克） （丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時(shí)所用的平均砝碼數(shù)最少？解 設(shè)、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時(shí)所用的砝碼數(shù)，則有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 所以，用乙組砝碼秤重時(shí)所用的平均砝碼數(shù)最少。解， +4+4=27：，求及。 設(shè)為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為 求的分布列。解 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布：與，求的分布列。 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為，求的分布列。 已知隨機(jī)變量的分布列為，求與的分布列。同理。）證明 設(shè)。但是，因而不相互獨(dú)立。 證明因?yàn)樗韵嗷オ?dú)立。 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求的聯(lián)合分布列及邊際分布列。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別為、求的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。解 。解 在指定的一頁(yè)上出現(xiàn)某一個(gè)錯(cuò)誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個(gè)錯(cuò)誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于2．14 ，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，那么每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個(gè)產(chǎn)品，其中有個(gè)次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當(dāng)于，查普哇松分布數(shù)值表，得。 一本500頁(yè)的書共有500個(gè)錯(cuò)誤，每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁(yè)上（每一頁(yè)的印刷符號(hào)超過500個(gè)）。求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。查普哇松分布的數(shù)值表，得。 設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進(jìn)貨時(shí)應(yīng)進(jìn)多少件此種商品。由于得（不合要求）。 設(shè)隨機(jī)變量服從普哇松分布，且，求。 兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中時(shí)為止，,，求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的分布列。解 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求的分布列。解 設(shè)“”表示前次取出白球，第次取出黑球，則的分布列為： 設(shè)某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現(xiàn)在對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第次為首次測(cè)到合格品，求的分布列。 一個(gè)口袋中裝有個(gè)白球、個(gè)黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時(shí)停止。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。解 ，所以。(3) . 解 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為。解 (1) 。 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：，求(1)。（3）,所以它不是隨機(jī)變量的分布列。解 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙