【正文】 A3) = , 由全概率公式 31333( ) ( ) ( | ) 8 5 0 5 0 624??? ? ? ? ? ? ?? iiiP B P A P B A 由 Bayes 公式 , 這批貨物的損壞率為 2%, 10%, 90%的概率分別為 313233( ) ( | ) ( | ) 31( ) 24( ) ( | ) ( | ) 68( ) 24( ) ( | ) ( | ) 01( ) 24?? ? ??? ? ??? ? ?iiiiP A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB 由于 P( A1|B) 遠大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以認為這批貨物的損壞率為 . 17. 驗收成箱包裝的玻璃器皿，每箱 24 只裝，統(tǒng)計資料表明，每箱最多有兩只殘次品，且含 0， 1 和 2 件殘次品的箱各占 80%， 15%和 5%，現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中 4 只；若未發(fā)現(xiàn)殘次品，則通過驗收，否則要逐一檢驗并更換殘概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 6 頁 (共 96 頁 ) 次品，試求： （ 1）一次通過驗收的概率α； （ 2）通過驗收的箱中確定無殘次品的概率β . 解 設(shè) Hi={箱中實際有的次品數(shù) }, 0,1,2?i , A={通過驗收 } 則 P(H0)=, P(H1)=, P(H2)=, 那么有： 04231 4244222 424( | ) 1,5( | ) ,695( | )138P A HCP A HCCP A HC????? (1)由全概率公式 20( ) ( ) ( | ) 0 . 9 6? ?? ? ?? iiiP A P H P A H (2)由 Bayes 公式 得 00( ) ( | ) 0 .8 1( | ) 0 .8 3( ) 0 .9 6? ?? ? ? ?i P H P A HP H A PA 18. 一建筑物內(nèi)裝有 5 臺同類型的空調(diào)設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時刻，每臺設(shè)備被 使用的概率為 ，問在同一時刻 （ 1）恰有兩臺設(shè)備被使用的概率是多少？ （ 2）至少有三臺 設(shè)備被使用的概率是多少？ 解 設(shè) 5 臺設(shè)備在同一時刻是否工作是相互獨立的 , 因此本題可以看作是 5 重伯努利試驗 . 由題意，有 p=, q=1?p=, 故 (1) 2 2 31 5 5( 2) ( ) ( ) 72 9? ? ?P P C (2) 2 5 5 5(3 ) ( 4) (5 )P P P P? ? ? 3 3 2 4 4 1 5 5 05 5 5( 0. 1 ) ( 0. 9) ( 0. 1 ) ( 0. 9) ( 0. 1 ) ( 0. 9) 0. 00 85 6C C C? ? ? ? 19. 甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球單打比賽，如果每一局甲勝的概率為 ，乙勝的概率為 ，比賽時可以采用三局二勝制或五局三勝制，問在哪一種比賽制度下甲獲勝的可能性 較大？ 解 在三局兩勝時 , 甲隊獲勝的概率為 332 2 1 3 3 0( 2 ) ( 3 )( 0 . 6 ) ( 0 . 4 ) ( 0 . 6 ) ( 0 . 4 ) 0 . 6 4 8??? ? ?AP P PCC 在五局三勝的情況下 , 甲隊獲勝的概率為 5 5 53 3 2 4 4 1 5 5 05 5 5( 3 ) ( 4 ) ( 5 )( 0 . 6 ) ( 0 . 4 ) ( 0 . 6 ) ( 0 . 4 ) ( 0 . 6 ) ( 0 . 4 ) 0 . 6 8 2? ? ?? ? ? ?BP P P PC C C 因此，采用五局三勝制的情況下，甲獲勝的可能性較大 . 20. 4 次重復(fù)獨立試驗中事件 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 6581 ，求在一次試驗中 A 出現(xiàn)的概率 . 解 設(shè)在一次獨立試驗中 A 出現(xiàn)一次的概率為 p, 則由題意 0 0 4 444 65( 0 ) (1 ) 1 81? ? ? ? ?P C p q p 解得 p=1/3. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 7 頁 (共 96 頁 ) 21.（ 87， 2 分）三個箱子，第一個箱子中有 4 只黑球 1 只白球，第二個箱子中有 3只黑球 3 只白球，第三個箱子有 3 只黑球 5 只白球 . 現(xiàn)隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取出一個球，這個球為白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€箱子的概率為 解 設(shè) ?B “取出白球”， ?iA “球取自第 i 個箱子”， .3,2,1?i 321 , AAA 是一個完 全 事 件 組 ， .3,2,1,3/1)( ?? iAP i 5/1)|( 1 ?ABP ， 2/1)|( 2 ?ABP ，8/5)|( 3 ?ABP ，應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式 ,12053)852151(31)|()()( 3 1 ????? ??i ii ABPAPBP .5320)( )|()()|( 222 ?? BP ABPAPBAP 22.（ 89， 2 分）已知隨機事件 A 的概率 )( ?AP ，隨機事件 B 的概率 )( ?BP及條件概率 )|( ?ABP ，則和事件 BA? 的概率 ?? )( BAP 解 )|()()()()()()()( ???????? ABPAPBPAPABPBPAPBAP . 23.（ 90， 2 分）設(shè)隨機事件 A ， B 及其和事件 BA? 的概率分別是 ， 和 . 若 B 表示 B 的對立事件，那么積事件 BA 的概率 ?)( BAP 解 BA 與 B 互不相容 ，且 .BBABA ??? 于是 .)()()( ???? BPBAPBAP 24. （ 92 ， 3 分 ） 已 知 41)()()( ??? CPBPAP ， 0)( ?ABP ，161)()( ?? BCPACP ，則事件 A ， B ， C 全不發(fā)生的概率為 解 從 0)( ?ABP 可知， 0)( ?ABCP . )()()()()()()()( A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAP ???????? .8501611610414141 ???????? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 8 頁 (共 96 頁 ) 25.（ 93， 3 分）一批產(chǎn)品共有 10 件正品和兩件次品，任意抽取兩次，每次抽一件，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為 解 設(shè)事件 ?iB “第 i 次抽出次品”， .2,1?i 則 ,12/2)( 1 ?BP 12/10)( 1 ?BP ， .11/2)|(,11/1)|( 1212 ?? BBPBBP 應(yīng)用全概率公式 )|()()|()()( 1211212 BBPBPBBPBPBP ?? .611121210111122 ????? 26.（ 94， 3 分）已知 A ， B 兩個事件滿足條件 )()( BAPABP ? ，且 pAP ?)( ，則 ?)(BP 解 ).()()(1)()( ABPBPAPBAPBAP ?????? 因 )()( BAPABP ? ，故有 .1)(1)(,1)()( pAPBPBPAP ?????? 27.（ 06， 4 分）設(shè) A ， B 為隨機事件，且 0)( ?BP ， 1)|( ?BAP ，則必有（ ） A． )()( APBAP ?? B． )()( BPBAP ?? C． )()( APBAP ?? D． )()( BPBAP ?? 解 選（ C） 28.（ 05， 4 分）從數(shù) 1， 2， 3， 4 中任取一個數(shù)，記為 X ，再從 1， 2，?， X 中任取一個數(shù)，記為 Y ，則 ?? )2(YP 解 填 .4813 29.（ 96， 3 分）設(shè)工廠 A 和工廠 B 的產(chǎn)品的次品率分別為 %1 和 %2 ，現(xiàn)從由 A 和B 的產(chǎn)品分別占 %60 和 %40 的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該產(chǎn)品屬 A 生產(chǎn)的概率是 解 設(shè)事件 ?C “抽取的產(chǎn)品是次品”，事件 ?D “抽取的產(chǎn)品是 A 生產(chǎn)的”，則 D概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 9 頁 (共 96 頁 ) 表示“抽取的產(chǎn)品是工廠 B 生產(chǎn)的” . 依題意有 .)|(,)|(,)(,)( ???? DCPDCPDPDP 應(yīng)用貝葉斯可以求得條件概率 . )|()()|()( )|()()|( ???? ???? DCPDPDCPDP DCPDPCDP 30.（ 97， 3 分）袋中有 50 只乒乓球，其中 20 只是黃球， 30 只是白球，今有兩人依次隨機地從 袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取得黃球的概率是 解 設(shè)事件 ?iA “第 i 個人取得黃球”， 2,1?i . 根據(jù)題設(shè)條件可知 .4920)|(,4919)|(,5030)(,5020)( 121211 ???? AAPAAPAPAP 應(yīng)用全概率公式 .524920503049195020)|()()|()()( 1211212 ??????? AAPAPAAPAPAP 31.（ 87， 2 分）設(shè)在一次試驗中，事件 A 發(fā)生的概率為 p 。( ) ,h y y h y??且yy0, 則 221 ( l n )21( ) [ ( ) ] | ( ) | ( l n )1 ,02Y X Xyf y f h y h y f y yeyy??????????? 當 0y? 時 ( ) 0Yfy? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 20 頁 (共 96 頁 ) 因此 221 ( l n )21 ,0()20 , 0yYeyfy yy??????? ??? ?? ?? 25. 假設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為 2 的指數(shù)分布，證明： Y＝ 21 xe?? 在區(qū)間 (0, 1)上服從均勻分布 . 解 由于 21 xye??? 在 (0, + ∞ ) 上單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)為：1( ) l n ( 1 ) , 0 1 ,2h y y y? ? ? ? ? 并且 139。 | 22 y y yY X Xf y f y y f y y e e e???? ? ?? ? ? ? ? ? ? 當 y≤ 0 時， ()Yfy? 0 因此有 222 ,0()0 , 0yY eyfy y??? ??? ???? 22. 若隨機變量 X 的密度函數(shù)為 23 , 0 1()0,xxfx ? ??? ?? 其 他 2X 4 0 4 6 p 1/7 1/7 3/7 2/7 X2 0 4 9 p 1/7 4/7 2/7 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 19 頁 (共 96 頁 ) 求 Y＝ 1x 的分布函數(shù)和密度函數(shù) . 解 y= 1x 在 (0,1)上嚴格單調(diào)，且反函數(shù)為 h(y)= 1y, y1, h’(y)=21y? 2 2 2 41 1 1 1 3( ) [ ( ) ] | ( ) | 3Y X Xf y f h y h y f y y y y y? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 因此有 43 ,1()0,Yyyfyothe r? ??? ??? Y 的分布函數(shù)為： 4 3 31 3 1 , 1() 10,yYyy dy y y yFyothe r? ? ?? ? ? ? ? ??????? 23. 設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為 22 ,0(1 )()0 , 0xxfxx?? ???? ?? ?? 試求 Y＝ lnX 的密度函數(shù) . 解 由于 lnyx? 嚴格單調(diào)，其反函數(shù)為 ( ) , 39?，F(xiàn)進行 n 次獨立試驗，則 A 至少發(fā)生一次的概率為 ；而事件 A 至多發(fā)生一次的概率為 . 解 由于每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率都是 p ，并且 n 次試驗相互獨立 . 這是 n 重伯努利試驗概型 . 若 ?iB “ n 次試驗中事件 A 發(fā)生 k 次”，則 .,2,1,0,)1()( nkqpCBP knkknk ???? ? 事件 A 至少發(fā)生一次的概率為 .)1(1)(1 0 npBP