【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 1 頁(yè) (共 96 頁(yè) ) 第一章 隨機(jī)事件及其概率 1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間： （ 1）同時(shí)擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和； （ 2）在單位圓內(nèi)任意一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)； （ 3） 10 件產(chǎn)品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出為止，記錄抽取的次數(shù)； （ 4）測(cè)量一汽車通過(guò)給定點(diǎn)的速度 . 解 所求的樣本空間如下 （ 1） S= {2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12} （ 2） S= {(x, y)| x2+y21} （ 3） S= {3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10} （ 4） S= {v |v0} 2. 設(shè) A、 B、 C 為三個(gè)事件，用 A、 B、 C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件： （ 1） A 發(fā)生， B 和 C 不發(fā)生； （ 2） A 與 B 都發(fā)生，而 C 不發(fā)生； （ 3） A、 B、 C 都發(fā)生； （ 4） A、 B、 C 都不發(fā)生； （ 5） A、 B、 C 不都發(fā)生； （ 6） A、 B、 C 至少有一個(gè)發(fā)生； （ 7） A、 B、 C 不多于一個(gè)發(fā)生； （ 8） A、 B、 C 至少有兩個(gè)發(fā)生 . 解 所求的事件表示如下 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (4 )( 5 ) ( 6)( 7 )( 8)A B C A B C ABC A B CABC A B CA B B C A CAB BC CA 3．在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名，若事件 A 表示被選學(xué)生是男生，事件 B 表示該生是三年級(jí)學(xué)生，事件 C 表示該學(xué)生 是運(yùn)動(dòng)員，則 （ 1）事件 AB 表示什么？ （ 2）在什么條件下 ABC=C 成立？ （ 3）在什么條件下關(guān)系式 CB? 是正確的？ （ 4）在什么條件下 AB? 成立？ 解 所求的事件表示如下 （ 1）事件 AB 表示該生是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員 . （ 2）當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)男生時(shí)， ABC=C 成立 . （ 3）當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)，關(guān)系式 CB? 是正確的 . （ 4）當(dāng)全校女生都 在三年級(jí)，并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)， AB? 成立 . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 2 頁(yè) (共 96 頁(yè) ) 4．設(shè) P(A)＝ ， P(A－ B)＝ ，試求 ()PAB 解 由于 A?B = A – AB, P(A)= 所以 P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = , 所以 P(AB)=, 故 ()PAB = 1? = . 5. 對(duì)事件 A、 B 和 C，已知 P(A) = P(B)＝ P(C)＝ 14 ， P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18 求 A、 B、 C 中至少有一個(gè)發(fā)生的概率 . 解 由于 , ( ) 0 ,??ABC AB P AB故 P(ABC) = 0 則 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 1 1 1 1 50 0 04 4 4 8 8? ? ? ? ? ? ? ? 6. 設(shè)盒中有 α只紅球和 b 只白球，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出兩只球，試求下列事件的概率： A＝ {兩球顏色相同 }， B＝ {兩球顏色不同 }. 解 由題意，基本事件總數(shù)為 2abA? ，有利于 A 的事件數(shù)為 22abAA? ，有利于 B 的事件數(shù)為 1 1 1 1 1 12a b b a a bA A A A A A??, 則 2 2 1 1222( ) ( )a b a ba b a bA A A AP A P BAA????? 7. 若 10 件產(chǎn)品中有 7 件正品， 3 件次品 , （ 1）不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （ 2）每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率 . 解 （ 1）設(shè) A={取得三件次品 } 則 331 0 1 016( ) ( )1 2 0 7 2 0或 者? ? ? ?CAP A P A. （ 2）設(shè) B={取到三個(gè)次品 }, 則 333 2 7() 1 0 1 0 0 0??PA. 8. 某旅行社 100 名導(dǎo)游中有 43 人會(huì)講英語(yǔ)， 35 人會(huì)講日語(yǔ)， 32 人會(huì)講日語(yǔ)和英語(yǔ)，9 人會(huì)講法語(yǔ)、英語(yǔ)和日語(yǔ)，且每人至少會(huì)講英、日、法三種語(yǔ)言中的一種，求： （ 1）此人會(huì) 講英語(yǔ)和日語(yǔ)，但不會(huì)講法語(yǔ)的概率； （ 2）此人只會(huì)講法語(yǔ)的概率 . 解 設(shè) A={此人會(huì)講英語(yǔ) }, B={此人會(huì)講日語(yǔ) }, C={此人會(huì)講法語(yǔ) } 根據(jù)題意 , 可得 (1) 3 2 9 2 3( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 1 0 0? ? ? ? ?P A B C P A B P A B C (2) ( ) ( ) ( )P A B C P A B P A B C?? ( ) 0 1 ( )P A B P A B? ? ? ? ? ? 1 ( ) ( ) ( )P A P B P AB? ? ? ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 3 頁(yè) (共 96 頁(yè) ) 4 3 3 5 3 2 5 41 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0? ? ? ? ? 9. 罐中有 12 顆圍棋子，其中 8 顆白子 4 顆 黑子，若從中任取 3 顆，求： （ 1） 取到的都是白子的概率； （ 2） 取到兩顆白子，一顆黑子的概率； （ 3） 取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率； （ 4） 取到三顆棋子顏色相同的概率 . 解 (1) 設(shè) A={取到的都是白子 } 則 38312 14( ) 0 .2 5 555? ? ?CPA C. (2) 設(shè) B={取到兩顆白子 , 一顆黑子 } 2184312( ) 0 .5 0 9??CCPB C. (3) 設(shè) C={取三顆子中至少的一顆黑子 } ( ) 1 ( ) ? ? ?P C P A. (4) 設(shè) D={取到三顆子顏色相同 } 3384312( ) 0 .2 7 3???CCPD C. 10. （ 1） 500 人中，至少有一個(gè)的生日是 7 月 1 日的概率是多少 (1 年按 365 日計(jì)算 )？ （ 2） 6 個(gè)人中，恰好有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少？ 解 (1) 設(shè) A = {至少有一個(gè)人生日在 7 月 1 日 }, 則 500500364( ) 1 ( ) 1 0 .7 4 6365? ? ? ? ?P A P A (2)設(shè)所求的概率為 P(B) 4 1 26 1 26 11( ) 0 .0 0 7 312????CCPB 11. 將 C， C， E， E， I， N， S 7 個(gè)字母隨意排成一行，試求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 解 由于兩個(gè) C，兩個(gè) E 共有 22AA 種排法，而基本事件總數(shù)為 77A ，因此有 222277 0 .0 0 0 7 9 4AAp A?? 12. 從 5 副不同的手套中任取款 4 只，求這 4 只都不配對(duì)的概率 . 解 要 4 只都不配對(duì)， 我們先取出 4 雙，再?gòu)拿恳浑p中任取一只，共有 ?445 2C 中取法 . 設(shè) A={4 只手套都不配對(duì) }，則有 ???4454102 80() 210CPA C 13. 一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造三只同種零件，第 i 只零件是不合格的概概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 4 頁(yè) (共 96 頁(yè) ) 率為 ? ?11ip i ， i=1， 2， 3，若以 x 表示零件中合格品的個(gè)數(shù)，則 P(x=2)為多少？ 解 設(shè) Ai = {第 i 個(gè)零件不合格 }， i=1,2,3, 則 1() 1iiP A p i??? 所以 ( ) 1 1ii iP A p i? ? ? ? 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 2 ) ( ) ( ) ( )P x P A A A P A A A P A A A? ? ? ? 由于零件制造相互獨(dú)立，有： 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A? ， 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A? 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A? 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1, ( 2 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4Px ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 14. 假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為 ，這時(shí)射擊命中目標(biāo)的概率為 ，試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率 p. 解 設(shè) A={目標(biāo)出現(xiàn)在射程內(nèi) }， B={射擊擊中目標(biāo) }， Bi ={第 i 次擊中目標(biāo) }, i=1,2. 則 P(A)=, P(Bi|A)= 另外 B=B1+B2，由全概率公式 12( ) ( ) ( )( ) ( ) ( | )( ) ( ( ) | )P B P A B P A BP A B P A P B AP A P B B A?????? 另外 , 由于兩次射擊是獨(dú)立的 , 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 由加法公式 P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－ P(B1B2|A)=+= 因此 P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)= = 15. 設(shè)某種產(chǎn)品 50 件為一批，如果每批產(chǎn)品中沒(méi)有次品的概率為 ，有 1， 2，3， 4 件次品的概率分別為 , , , ，今從某批產(chǎn)品中抽取 10 件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中次品不超過(guò)兩件的概率 . 解 設(shè) Ai ={一批產(chǎn)品中有 i 件次品 }， i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取 10 件檢查出一件次品 }, C={產(chǎn)品中次品不超兩件 }, 由題意 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 5 頁(yè) (共 96 頁(yè) ) 0191 491 1050192 482 1050193 473 1050194 461 1050( | ) 01( | )516( | )4939( | )98988( | )2303?????????P B ACCP B ACCCP B ACCCP B ACCCP B AC 由于 A0, A1, A2, A3, A4 構(gòu)成了一個(gè)完備的事件 組 , 由全概率公式 40( ) ( ) ( | ) 0 .1 9 6???? iiiP B P A P B A 由 Bayes 公式 000111222( ) ( | )( | ) 0()( ) ( | )( | ) 0. 25 5()( ) ( | )( | ) 0. 33 3()??????P A P B AP A BPBP A P B AP A BPBP A P B AP A BPB 故 20( ) ( | ) 0 .5 8 8???? iiP C P A B 16. 由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸某種物品損壞 2%， 10%和 90%的概率分別為 ， ， ，現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是多少（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出一件后不影響下一件的概率） . 解 設(shè) B={三件都是好的 }， A1={損壞 2%}, A2={損壞 10%}, A3={損壞 90%}，則A1, A2, A3 是兩兩互斥 , 且 A1+ A2 +A3=Ω , P(A1)=, P(A2)=, P(A2)=. 因此有 P(B| A1) = , P(B| A2) = , P(B| A3) = , 由全概率公式 31333( ) ( ) ( | ) 8 5 0 5 0 624??? ? ? ? ? ? ?? iiiP B P A P B A 由 Bayes 公式 , 這批貨物的損壞率為 2%, 10%, 90%的概率分別為 313233( ) ( | ) ( | ) 31( ) 24( ) ( | ) ( | ) 68( ) 24( ) ( | )