【正文】 設(shè)試驗成功的概率為 34 ，失敗的概率為 14 ，以 X 表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試 寫出 X 的分布律，并計算 X 取偶數(shù)的概率 . 解 X 的分布律為： 113( ) , 1 , 2 , 3 ,44kP X k k?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? X 取偶數(shù)的概率： 2113{ } ( 2 )44111 1633 116 51 16kkP X P X k????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ??????k=1 k=1k=1為 偶 數(shù) 3. 從 5 個數(shù) 1， 2， 3， 4， 5 中任取三個為數(shù) 1 2 3,x x x .求： X＝ max ( 1 2 3,x x x )的分布律及 P(X≤ 4)； Y＝ min ( 1 2 3,x x x )的分布律及 P(Y3). 解 基本事件總數(shù) 為： 35 10C? ， (1)X 的分布律為： P(X≤ 4)=P(3)+P(4)= (2)Y 的分布律為 P(X3) =0 4. C 應(yīng)取何值，函數(shù) f(k) = !kCk? ， k＝ 1， 2，?，λ 0 成為分布律？ 解 由題意 , 1 ( ) 1k fx?? ??, 即 X 3 4 5 p Y 1 2 3 p 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 14 頁 (共 96 頁 ) 01 1 0 ( 1 ) 1! ! ! 0 !k k kk k kC C C C ek k k?? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ? 解得： 1( 1)C e?? ? 5. 已知 X 的分布律 X － 1 1 2 P 16 26 36 求：（ 1） X 的分布函數(shù)；（ 2） 12PX???????；（ 3） 312PX????????. 解 (1) X 的分布函數(shù)為 ( ) ( )k kxxF x P X x p?? ? ? ? 0 , 11 / 6 , 1 1()1 / 2 , 1 21 , 2xxFxxx???? ? ? ??? ? ???? ??。 (2) 11( 1 )26P X P X??? ? ? ? ????? (3) 31 ( ) 02P X P??? ? ? ? ????? 6. 設(shè)某運(yùn)動員投籃投中的概率為 P＝ ，求一次投籃時投中次數(shù) X 的分布函數(shù)，并作出其圖形 . 解 X 的分布函數(shù) 00( ) 0. 6 0 111xF x xx???? ? ????? 7. 對同一目標(biāo)作三次獨立射擊，設(shè)每次射擊命中的概率為 p，求： （ 1）三次射擊中恰好命中兩次的概率； （ 2）目標(biāo)被擊中兩彈或兩彈以上被擊毀，目標(biāo)被擊毀的概率是多少？ 解 設(shè) A={三次射擊中恰好命中兩次 }， B=目標(biāo)被擊毀，則 (1) P(A) = 2 2 3 2 233( 2) (1 ) 3 (1 )P C p p p p?? ? ? ? (2) P(B) = 2 2 3 2 3 3 3 3 2 33 3 3 3( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 2P P C p p C p p p p??? ? ? ? ? ? ? 8. 一電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為 4 的泊松分布，求： （ 1）每分鐘恰有 6 次呼喚的概率； （ 2）每分鐘的呼喚次數(shù)不超過 10 次的概率 . 解 F(x) 0 x 1 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 15 頁 (共 96 頁 ) (1) P(X=6) = 6 44 0 .1 0 4! 6 !k eek ?? ????或者 P(X=6) = !kek ?? ? 446744!!kkkkee??????????= – = . (2) P(X≤ 10) 10 440 1 1441 1 0 . 0 0 2 8 4!!kkkkee?????? ? ? ? ??? = 9. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從泊松分布，且 P(X＝ 1)＝ P(X＝ 2)，求 P(X＝ 4) 解 由已知可得， 12,1! 2!ee??????? 解得λ =2， (λ =0 不合題意 ) 4 22, ( 4) 4!P X e???因 此 = 10. 商店訂購 1000 瓶鮮橙汁，在運(yùn)輸途中瓶子被打碎的概率為 ，求商店收到的玻璃瓶，（ 1）恰有兩只；（ 2）小于兩只；（ 3）多于兩只；（ 4）至少有一只的概率 . 解 設(shè) X={1000 瓶鮮橙汁中由于運(yùn)輸而被打破的瓶子數(shù) }，則 X 服從參數(shù)為 n=1000, p= 的二項分布，即 X~B(1000, ), 由于 n 比較大， p 比較小， np=3, 因此可以用泊松分布來近似 , 即 X~π (3). 因此 (1) P(X=2) 2 33 !e??? (2) 323( 2 ) 1 ( 2 ) 1 1 0 . 8 0 0 8 0 . 1 9 9 2!kkP X P X ek? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? (3) 333( 2 ) ( 2 ) 0 . 5 7 6 8!kkP X P X ek? ??? ? ? ? ?? (4) 313( 1) 0 .9 5 0 2!kkP X ek? ??? ? ?? 11. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 20 , 0( ) , 0 11, 1xF x kx xx???? ? ????? 求：（ 1）系數(shù) k；（ 2） P(X)；（ 3） X 的密度函數(shù)；（ 4）四次獨立試驗中有三次恰好在區(qū)間 (， )內(nèi)取值的概率 . 解 (1) 由于當(dāng) 0≤ x≤ 1 時，有 F(x)=P(X≤ x)=P(X0)+P(0≤ X≤ x)=kx2 又 F(1) =1, 所以 k 12=1 因此 k=1. (2) P(X) = F()?F() = ?= (3) X 的密度函數(shù)為 2 , 0 1( ) 39。 | 22 y y yY X Xf y f y y f y y e e e???? ? ?? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) y≤ 0 時， ()Yfy? 0 因此有 222 ,0()0 , 0yY eyfy y??? ??? ???? 22. 若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 23 , 0 1()0,xxfx ? ??? ?? 其 他 2X 4 0 4 6 p 1/7 1/7 3/7 2/7 X2 0 4 9 p 1/7 4/7 2/7 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 19 頁 (共 96 頁 ) 求 Y＝ 1x 的分布函數(shù)和密度函數(shù) . 解 y= 1x 在 (0,1)上嚴(yán)格單調(diào)，且反函數(shù)為 h(y)= 1y, y1, h’(y)=21y? 2 2 2 41 1 1 1 3( ) [ ( ) ] | ( ) | 3Y X Xf y f h y h y f y y y y y? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 因此有 43 ,1()0,Yyyfyothe r? ??? ??? Y 的分布函數(shù)為： 4 3 31 3 1 , 1() 10,yYyy dy y y yFyothe r? ? ?? ? ? ? ? ??????? 23. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 22 ,0(1 )()0 , 0xxfxx?? ???? ?? ?? 試求 Y＝ lnX 的密度函數(shù) . 解 由于 lnyx? 嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為 ( ) , 39。22( ) ( ) ( 4 )XXf x F x x??? ? 39。( ) ,h y y h y??且yy0, 則 221 ( l n )21( ) [ ( ) ] | ( ) | ( l n )1 ,02Y X Xyf y f h y h y f y yeyy??????????? 當(dāng) 0y? 時 ( ) 0Yfy? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 20 頁 (共 96 頁 ) 因此 221 ( l n )21 ,0()20 , 0yYeyfy yy??????? ??? ?? ?? 25. 假設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 2 的指數(shù)分布，證明： Y＝ 21 xe?? 在區(qū)間 (0, 1)上服從均勻分布 . 解 由于 21 xye??? 在 (0, + ∞ ) 上單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)為：1( ) l n ( 1 ) , 0 1 ,2h y y y? ? ? ? ? 并且 139。 )厘米內(nèi)為合格品，求螺栓不合格的概率 . 解 由題意，設(shè) P 為合格的概率，則 ? ? 1 0 . 0 5( | 1 0 . 0 5 | 0 . 1 2 ) 0 . 1 2 1 0 . 0 5 0 . 1 2 2 20 . 0 6XP P X P X P ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ( 2) ( 2) 2 ( 2) 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則不合格的概率 =1?P = 18. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(60， 9)，求分點 x1， x2，使 X 分別落在 (－∞， x1)、 (x1，x2)、 (x2， +∞ )的概率之比為 3:4:5. 解 由題， 111116 0 6 06 0 3( ) ( ) 0 .2 53 3 3 3 4 56 0 6 0( ) 1 ( ) 0 .7 5 ,33xxXP X x Pxx?????? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ? 查表可得 1 60 ??? 解得 , x1 = 222 6 0 6 06 0 3 4( ) ( ) 0 . 5 8 3 33 3 3 3 4 5xxXP X x P ??????? ? ? ? ? ? ??? ????又 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 18 頁 (共 96 頁 ) 查表可得 2 60 ? ? 解得 , x2 =. 19. 已知測量誤差 X（米）服從正態(tài)分布 N(, 102)，必須進(jìn)行多少次測量才能使至少有一次誤差的絕對值不超過 10 米的概率大于 ？ 解 設(shè)一次測量的誤差不超過 10 米的概率為 p, 則由題可知 1 0 7 .5 7 .5 1 0 7 .5( 1 0 ) 1 0 1 0 1 0( 0 .2 5 ) ( 1 .7 5 ) ( 0 .2 5 ) 1 ( 1 .7 5 ) 0 .5 9 8 7 1 0 .9 5 9 9 0 .5586Xp P X P ? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè) Y 為 n 次獨立重復(fù)測量誤差不超過 10 米出現(xiàn)的次數(shù)，則 Y~B(n, ) 于是 P(Y≥ 1)=1?P(X=0)=1?(1?)n≥ ≤ , n≥ ln()/ln() 解得： n≥ 取 n=5, 即，需要進(jìn)行 5 次測量 . 20. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為 X － 2 0 2 3 P 17 17 37 27 試求：（ 1） 2X 的分布列；（ 2） x2 的分布列 . 解 (1) 2X 的分布列如下 (2) x2 的分布列 21. 設(shè) X 服從 N(0， 1)分布，求 Y＝｜ X｜的密度函數(shù) . 解 y=|x|的反函數(shù)為 ,0h(y)= xx??????, 從而可得 Y=|X|的密度函數(shù)為： 當(dāng) y0 時， 2 2 22 2 21 1 2( ) ( ) | ( ) 39。概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 1 頁 (共 96 頁 ) 第一章 隨機(jī)事件及其概率 1. 寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間： （ 1）同時擲兩顆骰子，記錄兩顆