抽象函數(shù)習題精選精講(參考版)
2025-03-28 02:32本頁面
【正文】 由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。評析：（1）要討論函數(shù)的單調性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)0的結論。（2）由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，所以即有又，根據函數(shù)的單調性，有由，所以直線與圓面無公共點。在中，令因為當時，所以當時而所以又當x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。（1）判斷f(x)的單調性；（2）設，若，試確定a的取值范圍。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數(shù)圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關于點（a，b）成中心對稱圖形。解：已知式即在對稱關系式中取，所以函數(shù)的圖象關于點（0，2002）對稱。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯(lián)。五、單調性問題例6. 設f(x)定義于實數(shù)集上，當時，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉化的必要手段。解：令，得，即有或。賦值法是解此類問題的常用技巧。二、求值問題例3. 已知定義域為的函數(shù)f(x)，同時滿足下列條件：①；②，求f(3)，f(9)的值。這類問題實質上相當于已知的值域B，且，據此求x的取值范圍。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f(x)的定義域是A，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是［1，4］評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f(x)的定義域問題，相當于已知中x的取值范圍為A，據此求的值域問題。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的
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