高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述(參考版)
2025-04-20 13:01本頁面
【正文】 f (n)，且當(dāng)x0時，0 f (x) 1①求f (0)證明x0時 f (x) 1.②證明f(x)在R上單減，并舉出一個滿足①②的函數(shù)f(x)② 設(shè)A＝，B＝，若A∩B＝求a取值范圍（0，+∞）上的函數(shù)f (x)滿足①對于任意正數(shù)x、y都有f (xf (n)若f(19)＝19，求f(f(19) ③an＝f(n)， a1＝f(1)＝an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an數(shù)列｛an｝是首項為公比為的等比數(shù)列sn＝1 sn＝18． 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件： （i） （ii）對任意的 （Ⅰ）證明：對任意的 （Ⅱ）證明：對任意的 （Ⅲ）在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)，且使得 若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由.（Ⅰ）證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)時，有即（Ⅱ）證法一：對任意的當(dāng)不妨設(shè)則所以，綜上可知，對任意的都有證法二：由（Ⅰ）可得，當(dāng) 所以，當(dāng)因此，對任意的當(dāng)時，當(dāng)時，有且所以綜上可知，對任意的都有（Ⅲ）答：滿足所述條件的函數(shù)不存在. 理由如下，假設(shè)存在函數(shù)滿足條件，則由 得 又所以① 又因為為奇數(shù)，所以由條件得 ② ①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在.練習(xí):1. 函數(shù)f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)1，且x0時，f(x) 1①求證f(x)是R上的增函數(shù)②若f(4)＝5，解不等式f(3x2x2)3(x)是R上的函數(shù), 對任意的實數(shù)xx2都滿足f(x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2), 當(dāng)x0時，f(x) 0且f(2)=3①試判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性②當(dāng)θ∈[0,]時, f(cos2θ－3)+ f(4m－2mcosθ)對所有的θ均成立,求n1實數(shù)的取值范圍 (n)是定義在N上且取值為整數(shù)的嚴(yán)格單增函數(shù)，m、n互質(zhì)時f(m②證明f(x)是周期函數(shù)③記an=f(2n+), 求(lnan)解: ①由f (x)= f ( + )=[f(x)]20,f(x)a= f(1)=f(2nf(a)f(a)=n∈N*時f(n)=fn(1)=2n,f(n)=2nf(1)=f(++…+)=fn()=2f()= f()=[f()]m= 5． 定義在（1，1）上的函數(shù)f (x)滿足① 任意x、y∈（1，1）都有f(x)+ f(y)＝f ()，②x∈（1，0）時，有f(x) 01) 判定f(x)在（1，1）上的奇偶性，并說明理由2) 判定f(x)在（1，0）上的單調(diào)性，并給出證明3) 求證：f ()＝f ()－f ()或f ()+f ()+…+f () f () (n∈N*) 解:1) 定義在（1，1）上的函數(shù)f (x)滿足任意x、y∈（1，1）都有f(x)+ f(y)＝f (),則當(dāng)y=0時, f(x)+ f(0)＝f(x) f(0)=0 當(dāng)x=y時, f(x)+ f(x)＝f(0) f(x)是（1，1）上的奇函數(shù)2) 設(shè)0x1x21f(x1)f(x2)= f(x1)+ f(x2)=0x1x21 ,x∈（1，0）時，有f(x) 0,1x1 x20, x1x200即f(x)在（1，0）上單調(diào)遞增.3) f ()=f()=f( )=f()=f()f()f ()+f ()+…+f ()=f()f()+f()f()+f()+…+f()f()= f() f()=f()+f()x∈（1，0）時，有f(x) 0f()0, f()+f()f()即f ()+f ()+…+f () f ()1) 6． 設(shè) f (x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對稱, 對任意xx2[0,]都有f (x1+ x2)＝f(x1) f(1) f(2)=f(1) f(0)=f2(0)f(0) =(0)=0則f(4)=16=f(0+4)=f(0) g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且g(x)0 g(n)=[ g(1)]n=2n 當(dāng)nN,n≥3時, 2nn f(n)=＝1 ，＝1 2n＝（1+1）n＝1+n+…++…+n+12n+1 2n+12n+2,即11當(dāng)nN,n≥3時,f(n)3． 設(shè)f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函數(shù),且f1(x)單增,設(shè)f(x)= f1(x) +f2(x) ,且對于(0,+∞)上
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