高一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見題型解法綜述(參考版)
2025-07-27 12:32本頁面
【正文】 7。（2）設(shè)，∴，∵時，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函數(shù)。解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。 例已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。設(shè)2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。（2）設(shè)0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。解：（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且是定義域中的數(shù)時有，∴在定義域中。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說明理由。例己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三條件：①當(dāng)是定義域中的數(shù)時，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數(shù)）；③當(dāng)0＜x＜2a時，f（x）＜0。g（b）。解：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）分析: 由題設(shè)條件可猜測y＝f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（a＋b）＝g（a）如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，故，解之得：8＜x≤9。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）＝0，f（9）＝2。對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對數(shù)函數(shù)抽象
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