[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問(wèn)題的求解策略(參考版)
2025-01-10 19:45本頁(yè)面
【正文】 證明： 關(guān)于 對(duì)稱(chēng) 將上式中的 以 代換，得 是周期函數(shù) 且 是它的一個(gè)周期 。進(jìn)一步我們想到，定義在 上的函數(shù) ，其圖象如果有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，那么 是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過(guò)探索，我們得到 思考五：設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) 和 對(duì)稱(chēng)。證明 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期。 證明： 關(guān)于 對(duì)稱(chēng) 又由 是奇函數(shù)知 將上式的 以 代換，得 是 上的周期函數(shù) 且 4 是它的一個(gè)周期 是奇函數(shù)的實(shí)質(zhì)是 的圖象關(guān)于原點(diǎn)（ 0， 0）中心對(duì)稱(chēng)，又 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，可得 是周期函數(shù)，且 4 是它的一個(gè)周期。 證明： 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng) 將上式的 以 代換得 是 上的周期函數(shù) 且 是它的一個(gè)周期 若把這道高考題中的 “偶函數(shù) ”換成 “奇函數(shù) ”， 還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過(guò)探索，我們得到 思考三：設(shè) 是定義在 上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)。 證明： 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng) 又由 是偶函數(shù)知 將上式中 以 代換，得 是 上的周期函數(shù) 且 是它的一個(gè)周期 思考二：設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 和 對(duì)稱(chēng)。 解析：（ I）解略。對(duì)任意 都有 。 又 ， 即 ，選 B。 10. 求解析式 例 15. 設(shè)函數(shù) 存在反函數(shù)， 與 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，則函數(shù) A. B. C. D. 分析：要求 的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求 圖象上任一點(diǎn) 的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。 例 14. 若函數(shù) 的圖象過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），則 的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn) ______。 例 13. 若函數(shù) 是偶函數(shù)，則 的圖象關(guān)于直線 _______對(duì)稱(chēng)。 例 12. 已知函數(shù) 是定義在 上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù) x，不等式 恒成立，求 k 的值。 又 有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱(chēng)性知 必是方程的一個(gè)根，其余兩根 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，所以 ，故 。 分析： 且 ， 又 時(shí)， 是增函數(shù)， 是偶函數(shù)， 故 7. 討論方程根的問(wèn)題 例 11. 已知函數(shù) 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都滿(mǎn)足 ，并且 有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是 _______。 分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn) 是周期函數(shù)，顯然 ，于是 ， 所以 故 是以 8 為周期的周期函數(shù)，從而 6. 比較函數(shù)值大小 利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問(wèn)題獲解。 例 8. 已知 的定義域?yàn)? ，且 對(duì)一切正實(shí)數(shù) x， y 都成立，若 ，則 _______。 故 是周期函數(shù)， 2c 是它的一個(gè)周期。試問(wèn) 是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。 圖 2 4. 探求周期性 這類(lèi)問(wèn)題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過(guò)類(lèi)似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過(guò)對(duì)函數(shù)原型的分析或賦值迭代，獲得問(wèn)題的解。 分析：如圖 2 所示，易知 在 上是增函數(shù)，證明如下： 任取 因?yàn)? 在 上是減函數(shù)，所以 。 例 5. 如果奇函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)且有最小值為 5，那么 在區(qū)間 上是 A. 增函數(shù)且最小值為 B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為 D. 減函數(shù)且最大值 為 分析：畫(huà)出滿(mǎn)足題意的示意圖 1，易知選 B。 證明：設(shè) 圖 象上任意一點(diǎn)為 P（ ） 與 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 在 的圖象上， 又 即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意 x 都有 ，所以 是偶函數(shù)。 分析：在 中，令 ， 得 令 ，得 于是 故 是偶函數(shù)。
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