【正文】 說通過做題才能發(fā)現(xiàn)問題所在。二、本章知識梳理 Lagrange插值和Newton插值：xxj①Lagrange插值基函數(shù)lk(x)=213。,k=0,1,2，n；j=0xkxjnxxj②Lagrange插值多項式pn(x)=229。yklk(x)=229。[213。]yk；xxk=0k=0j=0kjnnj185。kj185。kn③節(jié)點選取原則：居中原則；④Lagrange插值多項式的特點：直觀對稱，易建立插值多項式；但無繼承性。Newton插值主要是差商的理解與應(yīng)用，在做題過程中首先應(yīng)根據(jù)已知條件構(gòu)造差商表，然后根據(jù)差商表構(gòu)造插值多項式；⑤截斷誤差的求取： f(n+1)(x)f(n+1)(x)Rn(x)=w(n+1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]=w(n+1)(x)，計算時一(n+1)!(n+1)!般采用截斷誤差的估計式：Rn(x)163。 Hermite插值插值公式：Hm+n+1(x)=pn(x)+qm(x)wn+1(x)，其中pn(x)應(yīng)根據(jù)已知條件，使用Newton插值法構(gòu)造Newton插值多項式，最后根據(jù)已知條件求解Mn+1wn+1(x)。(n+1)!Hm+n+1(x)。 樣條插值①定義在[a,b]上對應(yīng)與分劃p的K次樣條函數(shù)總可表示為：1n1s(x)=229。ajx+229。cj(xxj)k+，所以要想確定s(x)，需要n+k個條件；k!j=0j=1jk②三次樣條插值問題（1）第一種邊界條件：39。39。39。39。39。39。39。39。 y0=f39。39。(x0),yn=f39。39。(xn)并且s39。39。(x0)=y0,s39。39。(xn)=yn（2）第二種邊界條件：39。39。39。39。 y0=f39。(x0),yn=f39。(xn)并且s39。(x0)=y0,s39。(xn)=yn（3）第三種邊界條件：++s39。(x0)=s39。(xn),s39。39。(x0)=s39。39。(xn)b(f,g)=242。r(x)f(x)g(x)dxa學(xué)習(xí)本節(jié)要熟練掌握權(quán)函數(shù)和內(nèi)積的一些性質(zhì) ①權(quán)函數(shù)：r(x)b②內(nèi)積：(f,g)=242。r(x)f(x)g(x)dxab③正交：(f,g)=242。r(x)f(x)g(x)dx=0a236。0,i185。j④正交函數(shù)系：(ji,jj)=242。r(x)ji(x)jj(x)dx=237。238。ai0,i=ja克萊姆施密特正交化方法：b236。239。239。f0(x)186。1239。k239。k+1237。fk+1(x)=x229。akjfj(x)(k=0,1,)j=0239。239。k+1(x,fj)239。其中a=(j=0,1，k)kj239。(f,f) ①Legendre多項式236。L0(x)186。1239。237。1dn2n239。Ln(x)=nn[(x1)],n=1,2,2n!dx238。②Chebyshev多項式Tn(x)=cos(narccosx),1163。x163。1③Laguerre多項式dn(xnex)Un(x)=e,n=0,1,dxnx④Hermite多項式dn(ex)nHn(x)=(1)e,n=0,1,dxnx22 函數(shù)的最佳平方逼近①最佳平方逼近概念(ff,ff)=min(ff,ff)f206。Hn**②最佳平方逼近的條件(fp,fj)=0 ③ 最佳平方逼近元素是唯一的 ④最佳平方逼近元素的求法p(x)=**229。cf(x)，求系數(shù)c*kkk=0n*k ⑤最佳平方逼近誤差d=(fp*,fp*)①曲線擬合的最小二乘法②擬合曲線的求法[f(x)y]229。[f(x)y]=min229。f*2iiiii=0206。Di=0mm2D=span{f0(x),f1(x)，fn(x)},nmf(x)=229。c*jfj(x)206。D *j=0nA=[F0,F1，F(xiàn)n]，c=[c0,c1，]T法方程為ATAc=ATy還可以通過構(gòu)造正交多項式作為基函數(shù)組，然后去擬合給定的數(shù)據(jù)，此種方法不用求解矩陣，而是直接求解方程解出相應(yīng)的系數(shù)。三、本章思考題問題1：在使用最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)時，是不是多項式的次數(shù)越高，擬合的精度越高？解：擬合的精度可以用誤差平方和s來描述，通常來說，如果能用一次項公式來擬合的，用二次公式或三次公式來擬合則方差會更??；同理，能用二次公式來擬合的，用三次公式則方差會更小。因此如果能用這三種之一來擬合的話，則通常是三次公式的方差蕞小。當(dāng)然如果三種擬合方式的均方差都小于預(yù)先所設(shè)定的范圍時，可以隨便選一種，通常是選越簡單的式子（比如一次公式），如果方差都比較大，那說明這幾種擬合方式都不太好，需尋找更合適的擬合。問題2：插值與擬合的異同？解：相同點：都需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)，可使用得到的函數(shù)來計算未知點的函數(shù)值。不同點：插值需要構(gòu)造的函數(shù)正好通過各插值點,擬合則不要求,只要均方差最小即可，對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時,函數(shù)形式通常已知,僅需要擬合參數(shù)值，擬合是給定了空間中的一些點，找到一個已知形式未知參數(shù)的連續(xù)曲面來最大限度地逼近這些點，而插值是找到一 個連續(xù)曲面來穿過這些點。四、本章測驗題1問題描述：定義內(nèi)積：(f,g)=242。f(x)g(x)dx，試在H1=span1,x,x2中尋求0{}對于f(x)=x的最佳平方逼近元素p(x)。321解：j0(x)186。1，j1(x)=x，j2(x)=x，(j0,j0)=242。1dx=1，(j1,j1)=242。x2dx=30021111(j2,j2)=242。xdx=，(j2,j0)=242。x2dx=530041111(j2,j1)=242。xdx=，(j1,j0)=242。xdx=4200311222(j0,f)=242。xdx=，(j1,f)=242。x2dx=，(j2,f)=242。x2dx=579000233。234。1234。1234。234。2234。1234。235。31213141249。233。2249。3233。c0249。234。521641234。234。2,c1=,c2= =234。，解的：c0=1053574234。234。7234。c1235。2234。2234。5235。91321517所求的最佳平方逼近的元素為：p(x)=2164+x+x2 105357第五篇：數(shù)值分析總結(jié)一：：1）首先要有可靠的理論分析，以確保算法在理論上的收斂性和數(shù)值上的穩(wěn)定性。2）其次要對計算的結(jié)果進(jìn)行誤差估計，以確定其是否滿足精度。3）還要考慮算法的運(yùn)行效率即算法的運(yùn)算量和存儲量。：1）截斷誤差：模型的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法準(zhǔn)確解之間的誤差。2）舍入誤差：實數(shù)形式的原始數(shù)據(jù)與有限字長計算機(jī)數(shù)據(jù)間的誤差。：1）若某算法受初始誤差或運(yùn)算過程中的舍入誤差影響較小，則稱為數(shù)值穩(wěn)定。2）若微小的初始誤差都會對最終結(jié)果產(chǎn)生極大的影響，則稱之為病態(tài)問題。二：Runge現(xiàn)象即高次插值的振蕩現(xiàn)象，指增加節(jié)點固然能使插值函數(shù) p(x)與被插值函數(shù)f（x）在更多的地方相等，但在兩點之間p(x)不一定能很好地近似f（x），有時候誤差非常大。解決方法：分段低次插值（將插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在小區(qū)間內(nèi)用低次插值）：插值函數(shù)p(x)在插值區(qū)間[a,b]上有二階光滑度，在分段的小區(qū)間[xk,xk+1]上是低次多項式，同時滿足p(xi)=：理解逼近問題與擬合問題：1）逼近問題：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]具有一階光滑度，求多項式p(x)是f(x)p(x)在某衡量標(biāo)準(zhǔn)下最小的問題。2）擬合問題：從理論上講y=f(x)是客觀存在的，但在實際中，僅僅從一些離散的數(shù)據(jù)（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的準(zhǔn)確表達(dá)式，只能求出其近似表達(dá)式φ（x）。插值問題與逼近問題的特點和區(qū)別：1）相同點：它們都是求某點值的算法。2）不同點：A，被插值函數(shù)是未知的，而被逼近函數(shù)是已知的。B，插值函數(shù)在節(jié)點處與被插值函數(shù)相等。而逼近函數(shù)的值只要滿足很好的均勻逼近即可。C，求p(x)的方法不同。四：Romberg求積法和Gauss求積法的基本思想：1）復(fù)化求積公式精度較高，但需要事先確定步長，欠靈活性，在計算過程中將步長逐次減半得到一個新的序列，用此新序列逼近I的算法為Romberg求積法。2）對插值型求積公式，+1階代數(shù)精度，則稱此類求積公式為Gauss型。：借助于Taylor級數(shù)法的思想，將yn+1=yn+hy’(ξ)中的y’(ξ)（平均斜率）表示為f在若干點處值的線性組合，通過選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)使公式達(dá)到一定的階。