【正文】 2 ) 0 .2 9 7 214R f N N N?? ? ? ???? ? ? ?? 29 五、 (15分 ) (1)由首 1 正交多項式的構造公式，可得 0( ) 1x? ? ， 01000( , ( ) )( ) ( )( ( ) , ( ) )xxx x xxx??????? 1 1 1 20 0 01001100011l n 1 , l n , l n49ln( , ( ) ) 1 / 4 1 1, ( )( ( ) , ( ) ) 1 4 4lnxdx x xdx x xdxx xdxxxxxxxxdx? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ???, (2) 1111 00, ln , ( ) ( ) ( )44x A x d x x f x d x f?? ? ? ??? (3) Gauss 型求積公式的截斷誤差為 ( 2 ) ( 2 )112200( 2 ) ( 2 )12 ( 2 )0( ) 1 ( ) 1( ) ( ln ) ( ) ( ln ) ( )2 ! 4 2 ! 4( ) 1 1 ( ) 1 1 1 7( ln ln ln ) ( ) ( )2 ! 2 1 6 2 ! 9 8 1 6 2 8 8ffR f x x d x x x d xffx x x x x d x f???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? 六、 (10分 ) 1( ) 0 .0 5 , 39。( ) ,ne x f x x nx?? n=20 1 ()( ( ) ) 39。 ( ) ( ) 1( ( ) ) ( )( ) ( )1 ( ( ) ) ( ) 02520 10nr nrx e xe f x f x e x nxe f x e xf x f x n xxe f x e xnx? ? ? ?? ? ?? 七、 (10分 ) 30 ( 1 , 1 , 2 ) , ( 2, 0, 0 ) , ( 3, 1 , 2 )2112 2 29 3 3 212 2512 1 3 1 22 6 6121 3 2 2 222 22 6 32112 1 2 2 2 22 2 251033 2 6 61 2200 23 2 6 3T T TTTx y u x yuuHIuuHA R Q H? ? ? ? ? ???? ? ???????????? ? ? ? ? ? ????????????????????????? ? ??????????? ?? ? ? ? ? ? ?????? ????????????? 31 中國石油大學（北京） 20222022 學年第一學期 研究生期末考試試題 A (閉卷考試 ) 課程名稱：數(shù)值分析 注：計算題取小數(shù)點后四位 題號 一 二 三 四 五 六 七 總分 得分 一、 填空題 (每空 2分，共 20分 ) (1) 設 ? 為真值 ? 的近似，則 x 有 位有效數(shù)字。 (2) 設數(shù)據(jù) 12,xx的絕對誤差 分別 為 和 ，那么 12xx? 的絕對誤差 約 為 ____ _。 (3) 設 8 4 2( ) 4 3 2 1f x x x x? ? ? ?則差商 0 1 8[ 2 , 2 , , 2 ] ___ ___ ___f ?。 (4) 設 求 積 公 式 10 0 1????? ( ) ( ) , ( )nkkkf x d x A f x n是 Gauss 型求積公式，則30nkkk Ax? ?? 。 (5) 設 1032A ????????,則 ()A? = 。 (6) 數(shù)值微分公式 ( 2 ) ( 2 )39。( ) iii f x h f x hfx h? ? ??的截斷誤差為 。 (7) )(,),(),( 10 xlxlxl n? 是以 nxxx , 10 ? 為節(jié)點的拉格朗日插值基函數(shù)，則 0 ( 1) ( )n nkkk x l x? ??? 。 (8) 利用兩點 Gauss 求積公式 11 ( ) ( 0 . 5 7 7 4 ) ( 0 . 5 7 7 4 )f x d x f f? ? ? ??， 則20 ()f x dx ?? 。 所有試題答案寫在答題紙上，答案寫在試卷上無效 32 （ 9）解初值問題 ??? ???00 )(),( yxy yxfy 的改進的歐拉法是 階方法。 (10) 下面 Matlab程序所求解的數(shù)學問題是 。 （輸入 A , b , 輸出 X） X=zeros(n,1)。 X(n)=b(n)/A(n,n)。 for i=n1:1:1 X(i)=(b(i)A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i)。 end 二 、 (15分 ) 已知函數(shù)值表 0 1 2 3( ) 3 6 1 0 1 2i ixfx??? （ 1） 用 0 1 2,x x x 構造二次 Newton 插值多項式 2()Nx，計算當 ? 時 ()fx的近似值； （ 2） 用事后誤差估計方法估計 2()N 的誤差。 三、 （ 10 分） 試建立下述形式 的求積公式，并確定它的代數(shù)精度。 2 39。 39。0 1 0 10 ( ) [ ( 0 ) ( ) ] [ ( 0 ) ( ) ]h f x d x h a f a f h h b f b f h? ? ? ?? 四 、 （ 15 分） 已知數(shù)據(jù)表如下 ， 2 1 0 1 22 2 3 4 51 1 1 1 1iiixyw?? （ 1）構造關于點集和權的正交函數(shù)組 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x （ 2）利用 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x擬合已知數(shù)據(jù)點， 并求最小二乘擬合誤差 2? 。 五、 (15分 ) 設 線性方程組 為 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b????? ， 11 22 0aa? （ 1） 寫出解此方程組的雅可比 迭代格式 和高斯 賽德爾 迭代格式（分量 形式）； （ 2） 證明用 雅可比 迭代 法和高斯 賽德爾 迭代 法解此方程組要么同時收斂，要么同時發(fā)散； （ 3） 當同時收斂時試比較其收斂速度。 六、 (10分 ) （ 1） 證明對任何初值 0xR? ，由迭代公式 1 c o s , 0 , 1 , 2 , .. .kkx x k? ?? 所產(chǎn)生的序列 ? ?0k kx ??都收斂于方程 cosxx? 的根。 33 （ 2） 寫出求方程 cosxx? 根的牛頓迭代格式。 七、 (15分 )已知矛盾方程組 Ax=b， 其中 1 1 12 0 , 12 1 1Ab?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， （ 1）用 Householder 方法求矩陣 A 的正交分解，即 A=QR。 （ 2）用此正交分解求矛盾方程組 Ax=b 的最小二乘解。 數(shù)值分析 試卷 A 答案 三、 填空題 (每空 2分，共 20分 ) （ 1） 5 （ 2） （ 3） 4 （ 4） 1/4 （ 5） 2 （ 6） 2()Oh （ 7） ( 1)nx? （ 8） 20 ( ) ( 0 .4 2 2 6 ) ( 1 .5 7 7 4 )f x d x f f??? （ 9） 2 （ 10） 解上三角形方程組 二、 (15分 ) (1)建立如下差商表 ()031 6 32 10 4 1 2iix f x 一 差 商 二 差 商 三 差 商 ()162 1 0 43 1 2 2 1iix f x 一 差商 二 差商 （ 4 分 ） 22( ) 3 3 1 2 ( 1 )( 1 . 2 ) 3 3 . 6 0 . 1 2 6 . 7 2 ( 4N x x x xN ? ? ? ?? ? ? ? 分 ) 22( ) 6 4 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 1 . 2 ) 6 0 . 8 + 0 .1 6 6 . 9 6 ( 3N x x x xN? ? ? ? ?? ? ? 分） 22222( 1 .2 ) ( 1 .2 ) 1 .2 0 1 .2 1 1 .2 21 .2 1 1 .2 2 1 .2 3( 1 .2 ) ( 1 .2 )1 .2( 1 .2 ) ( 1 .2 ) ( ( 1 .2 ) ( 1 .2 ) ) 0 .0 9 63fNfNR f N N N? ??????? ? ? ? ?（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） (4分 ) 34 三、解：令公式對 23( ) 1, , ,f x x x x? 都準確成立，則有 010 0 11111112122134aaa b babab????? ? ? ????????? ???? (4分 ) 解之可得0 1 0 111。2 1 2a a b b? ? ? ? ?，故所求積分公式為 2 39。39。0 ( ) [ ( 0 ) ( ) ] [ ( ( 0 ) ( ) ) ]2 1 2h hhf x d x f f h f f h? ? ? ?? (4分 ) 當 4()f x x? 時，左邊 = 5115h ，右邊 = 5 2 3 51 1 1( 4 )2 1 2 6h h h h? ? ? 右邊 ? 左邊，所以原公式只具有 3 次代數(shù)精度。 (2分 ) 四、 解： （ 1） 首先構造 構造關于點集 和權 的首一正交多項式 .2,1,0),( ?ixi? 顯然 1)(0 ?x? ，設 axx ??)(1? ， 2122 )( bxbxx ???? 則121220 1 212124212111,11114212bbabbababbabba???? ??? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? 由 0 1 1 0( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ? 得 a=0，故有 xx ?)(1? 。 由 0 2 2 0( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ?和 1 2 2 1( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ?得 1210 010 5 0b b??? ??? ，即 1202bb ??? ??? 因此， 22( ) 2xx? ??。 (5分 ) （ 2）設 2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )p x a x a x a x? ? ?? ? ?，則 35 0000 0 0 01111 1 1 12222 2 2 2( ( ) , ) 16( ( ) , ( ) ) 5( ( ) , ) 4( ( ) , ( ) ) 5( ( ) , ) 1( ( ) , ( ) ) 7TTTTTTx y Yaxxx y Yaxxx y Yaxx??????????? ? ????? ? ????? ? ??? 22 1 6 4 1( ) ( 2 )5 5 7p x x x? ? ? ? ? (5 分 ) 2 2 2 2 20 0 0 1 1 1 2