【正文】 9。222H ( ) ( ) 2 ( )( ) ( 2 ) ,( 1 ) 1 , ( ) ( 2 )( ) ( 1 ) ( ) ,( ) ( 3 2 ) ( ) ( 1 ) ,1( 2 ) 4 ( 2 ) 1 ,25( 2 ) 8 ( 2 ) 4 0,415( ) ( 1 ) (2x h x h xh x x xh h x x xh x x x ax bh x x x ax b ax xah a bh a b abh x x x x??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????? ? ??????? ? ? ??? ????? ? ? ? ?四 、 （ 12 分 ）令由令由 解 得2 2 21223)415( ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( )243122H x h x h x x x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ??? ( 5 ) 22()( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )5!fR x f x H x x x x?? ? ? ? ? 16 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 3( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )2 2 1 2 3( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )2 3 1 2 3( 1 4 2 )4.( 1 2 ) ( 1 ) ( 2 3 )3( 3 2 4 )4k k k k kk k k k kk k k k kx x x x xS OR x x x x xx x x x x??????? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???五 分 迭 代 格 式 ： ( 2 ) 2 ,( 3 ) 1 , S O R S O RS O R????當 時 迭 代 法 發(fā) 散 。 六、（ 12 分） 1 1 / 2 1 1 10 0 1 / 2 1 11 1 1 1 3 14 4 4 4 4 4x d x x d x x d x t d t t d t??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( 1 735 1 735 3 735 3 735 )8? ? ? ? ? ? ? ?? 212212 22212 ( ) 1 , ( ) ( 1 )1 1 22 2 , , ,3 3 4 4 30 100 ,100 354 ( ) ( 1 ) ( 1 )七 （、 分 ） x x x xYaabbs x x x??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 7八 、 （ 分 ） ( ) ( ) ( )G x x x? ? ?? 0 1 n證 明 ： 非 奇 異 , , . . . , 線 性 無 關(guān) ( ) ( ) ( )x x x? ? ?0 1 n反 證 ： 假 設(shè) , , . . . , 線 性 相 關(guān) ， ( j = 0 , 1 , , n) ( )jjc c x??n jj=0存 在 不 全 為 零 的 使 =0 ( ( ) ( )jc x x???n jkj=0 ， ) = 0 , k = 0 , 1 , . . . , n 17 ( ) ( ) jx x c kGC???n jkj=0（ ， ） = 0 , = 0 , 1 , . . . , n 有 非 零 解 ,即 ： =0 有 非 零 解 , G奇 異 ,矛 盾 。 注：計算題取小數(shù)點后四位。t=1/(x1)。1 : 1 : 1* ( )。 （ 1）寫出解 ( ) 0fx? 的 Newton 迭代格式； （ 2）證明此迭代格式是線性收斂的。 （ 2）用此正交分解求矛盾方程組 Ax=b 的最小二乘解。 （ 2）用事后誤差估計方法估計 3()N 的誤差。 （ 2）利用正交多項式組 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x，求 ()f x x? 在 11[ , ]22? 上的二次最佳平方逼近多項式。 七、 (15分 ) 已知求解線性方程組 Ax=b 的分量迭代格式 ( 1 ) ( ) ( )1 ), 1 , 2 , ,nk k ki i i i j jjiix x b a x ina?? ?? ? ? ??（ （ 1）試導(dǎo)出其矩陣迭代格式及迭代矩陣； （ 2）證明當 A 是嚴格對角占優(yōu)陣， 12?? 時此迭代格式收斂。 2 3( ) 6 ( )f x x x a??。() , 0 , 1 , 2 ,()kkk kfxx x kfx? ? ? ? 得 321 2 3 2() 5 , 0 , 1 , 2 ,6 ( ) 6 6kk k kk k kxa ax x x kx x a x? ?? ? ? ? ?? （ 2）上述迭代格式對應(yīng)的迭代函數(shù)為25() 66axx x? ??，于是 39。 * 335 5 1 1( ) ( ) 16 3 6 3 2axa? ?? ? ? ? ? ?且 0? ，故此迭代格式是線性收斂的。 六、 (15分 ) 210 33( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) )I f x d x f f I? ? ? ? ? ?? ( 4 )2221 0( 4 )22202( 4 )220( 4 )( 4 )( ) 3 3( ( 1 ) ) ( ( 1 ) )4 ! 3 3( ) 3 3( ( 1 ) ) ( ( 1 ) )4 ! 3 3( ) 1( 1 )4 ! 3( ) 8 1()4 ! 45 135fI I x x dxfx dxfx dxff?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ?????????? 24 ( 1 ) ( )11.( 1 5 )( 1 )()kkx B x gB D D Ag D b??????????七 分 迭 代 矩 陣 右 端 向 量 1122D=nnaaa???????? 111112,1 1 1( ) m ax m ax 1 ( 1 1 ) 12 2 2.nii ijjjinnij iji n i njjii iijiA a aaaBB???? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ? ? ????????（ ） 嚴 格 對 角 占 優(yōu) 即所 以 此 迭 代 格 式 收 斂 25 數(shù)值分析試題 院系： 專 業(yè) ： 分數(shù)： 姓名： 學號： 日期： 一、 填空題 (每空 2分，共 20分 ) 1．設(shè) 1221A ?????????，則 A 的奇異值 1 _____.? ? 2. 已知 2()Px是用極小化插值法得到的 sinx 在 [0,3] 上的二次插值多項式，則 2()Px的 截斷誤差上界為 2( ) si n ( )R x x P x? ? ?_________ . 3. 設(shè) 42( ) 2 3 1f x x x? ? ?和節(jié)點 , 0 , 1, 2 ,2k kxk?? 則 0 1 5[ , , , ] ___ ___ __f x x x ? 和 4 0( ) ___ ___ ___fx?? . 4．如下兩種計算 1e? 近似值的方法中哪種方法能夠提供 較好的近似。 7. 解線性方程組 Ax=b的簡單迭代格式 ( 1) ( )kkx Bx g? ??收斂的充要條件是 __________. 8. 下面 Matlab程序所解決的數(shù)學問題為 ____________________ . function x=fun(A,b) n=length(b)。 x(n)=b(n)/A(n,n)。 26 end 二、 (15分 ) 已知方程組 Ax=b， 即 1212 22xxxx???? ???有解 x =（ 2， 0） T， (1) 求 ()cond A? ； (2) 求右端項有小擾動的方程組 12121 .0 0 0 1 2 .0 0 0 12xxxx???? ???的解 xx?? ； (3) 計算 bb???和 xx???，結(jié)果說明了什么問題。 （注： 取小數(shù)點后四位 ） 四、 (15分 ) 已知函數(shù)值表 1 2 3 4( ) 1 .1 2 .6 2 .8 1 .6i ixfx ??? ?? 用二次多項式計算 x= 時函數(shù)的較好近似值 ,并估計誤差 . 五 、 (15分 ) （ 1）求 [0， 1]區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù) ( ) lnxx? ?? 的首項系數(shù)為 1 的正交多項式 01( ), ( )xx??。 六 、 (10分 )已知近似數(shù) x=10的絕對誤差限為 ,試求函數(shù) 20()f x x? 的相對誤差限 . 七、 (10分 ) 用 Householder 方法求矩陣1 1 21 3 02 0 1A????????的正交分解，即 A=QR。( )kkk kfxxx fx? ?? 6。( ) ,ne x f x x nx?? n=20 1 ()( ( ) ) 39。 (2) 設(shè)數(shù)據(jù) 12,xx的絕對誤差 分別 為 和 ，那么 12xx? 的絕對誤差 約 為 ____ _。 (4) 設(shè) 求 積 公 式 10 0 1????? ( ) ( ) , ( )nkkkf x d x A f x n是 Gauss 型求積公式，則30nkkk Ax? ?? 。 (6) 數(shù)值微分公式 ( 2 ) ( 2 )39。 (7) )(,),(),( 10 xlxlxl n? 是以 nxxx , 10 ? 為節(jié)點的拉格朗日插值基函數(shù)，則 0 ( 1) ( )n nkkk x l x? ??? 。 所有試題答案寫在答題紙上，答案寫在試卷上無效 32 （ 9）解初值問題 ??? ???00 )(),( yxy yxfy 的改進的歐拉法是 階方法。 （輸入 A , b , 輸出 X） X=zeros(n,1)。 for i=n1:1:1 X(i)=(b(i)A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i)。 三、 （ 10 分） 試建立下述形式 的求積公式，并確定它的代數(shù)精度。 39。 五、 (15分 ) 設(shè) 線性方程組 為 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b????? ， 11 22 0aa? （ 1） 寫出解此方程組的雅可比 迭代格式 和高斯 賽德爾 迭代格式（分量 形式）； （ 2） 證明用 雅可比 迭代 法和高斯 賽德爾 迭代 法解此方程組要么同時收斂，要么同時發(fā)散； （ 3） 當同時收斂時試比較其收斂速度。 33 （ 2） 寫出求方程 cosxx? 根的牛頓迭代格式。 （ 2）用此正交分解求矛盾方程組 Ax=b 的最小二乘解。2 1 2a a b b? ? ? ? ?，故所求積分公式為 2 39。0 ( ) [ ( 0 ) ( ) ] [ ( ( 0 ) ( ) ) ]2 1 2h hhf x d x f f h f f h? ? ? ?? (4分 ) 當 4()f x x? 時，左邊 = 5115h ，右邊 = 5 2 3 51 1 1( 4 )2 1 2 6h h h h? ? ? 右邊 ? 左邊，所以原公式只具有 3 次代數(shù)精度。 由 0 2 2 0( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ?和 1 2 2 1( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ?得 1210 010 5 0b b??? ??? ，即 1202bb ??? ??? 因此， 22( ) 2xx?