【正文】 0 .0 1 .0 2 .0 3 .02 .0 2 .8 3 .6 4 .8iixy??? 14 ? ?01010 0 0001( ) , ( ) , , ( ) ,( ) , ( ) , , ( )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( ) , ( ) , , ( )nnnn n nnH spa n x x xx x xx x x xGx x x xG x x x? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????????八、( 7 分) 設(shè)內(nèi)積空間由 所確定的G r a m 矩陣為 證明：若 為非奇異矩陣，則 線性無關(guān)。 39。 （不用計算 HAH） 2. 設(shè) 121111A??????????，求 2( ) .cond A 3. 設(shè) 2 1 14 1 22 2 3A????????????，求 A 的 LU 分解。 end b ( n ) = b ( n ) / L ( n ,n )。 2．以 n + 1個 整 數(shù) 點 k ( k =1,2,… ,n， n+1) 為 節(jié) 點 的 Lagrange 插 值 基 函 數(shù) 為 lk(x)( k =1,2,… ,n,n+1)，則 1 11 ( 0 ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .n nkk lk? ?? ?? 3. 42( ) 2 3, [ 1 , 2, 3, 4, 5] ___ __ .f x x x f? ? ? ?若 則 4. 下面 Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達式為 ________________________ . for j = 1 : n 1 b ( j ) = b ( j ) / L ( j , j )。 12 數(shù)值分析試題 (A) 院系 ,專業(yè) ： 分數(shù)： 姓名 ,學(xué)號： 日期： . 注：計算題取小數(shù)點后 5位。 ( ) ( )23hhf x f x h f x f x fhhf x f x h f x f x fhf x f x f x hf x fh???? ? ? ?? ? ? ?????(1)4*(2) 除2 ，得 六、 (10分 ) ? ???? ??????1011 2211 11)21(21)21(21)( dttttfdttfdxxf ))2 3(1)2 231()21()2 3(1)2 231((6 22 ??????? fff? 9611)21)2231(4121)2 231((6 22102?????????? ??dxx故 七、 (15分 ) 212( ) , ( )x x x x???? 2122210 0 0. 21 1 0. 5, , ,2 4 1. 03 9 1. 214 36 6. 1 0. 61 84,36 98 15 .3 0. 07 11( ) 0. 61 84 0. 07 11( , ) ( , ) ( , )2. 73 0. 61 84 6. 1 0. 07 11Yaabbs x x xY Y a Y b Y?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 11 21 2 31 2 32 0 1.( 10 ) | | 0 5 0 ( 5 ) ( 5 4 )2 0 31 , 4, 51 , 1 4 , 1 5| 1 | 1 1 1 1 2 0,1| 1 4 | 1 1 1 4 1 0,2IAB I aA a a aa a aa a a?? ? ? ? ??? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?八 分 解 ：迭 代 矩 陣 的 特 征 值 為 2| 1 5 | 1 1 1 5 1 0,52051| 1 | | 1 5 | 1 1 5 6 2313a a aaa a a a a aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???當(dāng) 時 ， 迭 代 格 式 收 斂 。 39。 ( ) 39。 ( ) 39。 39。 ( ) 39。 ( ) 39。221139。 211139。 八、 (10分 ) ( 1 ) ( ) ( )2 0 1 10 5 0 , 32 0 3 1( ) , ( 0, 1 , 2, ).k k kAbx x a A x b kA x b a a?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??已 知 , 用 迭 代 公 式求 解 問 取 什 么 實 數(shù) 可 使 迭 代 收 斂 ， 且 為 何 值 時收 斂 最 快 ？ 8 數(shù)值分析答案 一、 填空題 (每小題 3 分，共 15 分 ) 1. a= 3 , b= 3 , c= 0 . 2. 0 ()nkk kl x x? ?? 3. 不穩(wěn)定 4. [1, 2, 3, 4, 5, 6] 0f ? 5. , , ,m n n my Ax y A R x R y R?? ? ? ? ? 二、 簡單計算題 (每小題 6分，共 18分 ) 2. 111 1 1 121( ) 4 1 4 , 5 1 3c o n d A A A A?? ???? ? ? ? ? ???? 3. 代數(shù)精度為 2。( ) 2f x f x f xfx h??? 六、 (10分 )利用求積公式 ))2 3()0()2 3((31 )(11 2?? ????? fffdxxxf ? 1 20x dx?求 定 積 分 。 39。 一、 填空題 (每小題 3分，共 15分 ) 1. 若 3321 0 1() 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 22xxSx x a x b x c x? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 是三次樣條函數(shù)，則 a=_______,b=______,c=______. 2. 以 n + 1個 整 數(shù) 點 k ( k =0,1,2,… ,n) 為 節(jié) 點 的 Lagrange 插 值 基 函 數(shù) 為 lk(x)( k =0,1,2,… ,n)，則 0 ( ) _____ .nkk kl x? ?? 3. 序列 ? ?n=0ny ?滿足遞推關(guān)系： 110 1 , ( 1 , 2, ...)nny y n?? ? ?， 若 0y 有 誤差 , 這個計算 過程是否穩(wěn)定？ ____________. 4. 42( ) 2 3 , [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ] _ _ _ _ _ .f x x x f? ? ? ?若 則 5. 下面 Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達式為 __________. for j = 1 : n for i = 1 : m y ( i ) = A ( i , j )* x ( j ) + y( i ) end end 二、 簡單計算題 (每小題 6分，共 18分 ) 1. 已知矩陣 1 3 43 2 1411A?????????，求 Givens 變換陣 G 使 GAGT 為三對角陣。39。( ) 39。( ) 39。39。( ) 39。( ) 39。39。 0 1 21 2( ) 2 ( ) ( )() f x f x f xfx h??? 并推導(dǎo)該公式的截斷誤差。 8． (10分 )設(shè) ()fx 四階連續(xù)可導(dǎo)， 0 , 0 ,1, x ih i? ? ? 試建立如下數(shù)值微分 公式 39。 （ 3）用事后誤差估計方法估計 2()L 、 2()N 的誤差。 2 5. (10分 )用 最小二乘法確定一條經(jīng)過原點的二次曲線，使之?dāng)M合下列數(shù)據(jù) 1 .0 2 .0 3 .0 4 .00 .8 1 .5 1 .8 2 .0iixy??? 6. (20分 )給出數(shù)據(jù)點： 0 1 3 41 9 1 5 6iixy ??? ?? （ 1）用 0 1 2,x x x 構(gòu)造二次 Lagrange 插值多項式 2()Lx，并計算 ? 的近似值 2()L 。 （ 2）用 Householder 變換陣 H 將 A 相似約化為上 Hessenberg 陣，即 HAH 為上 Hessenberg 陣。 2. (15分 )寫出求解線性代數(shù)方程組 1 2 312132 2 5312 7 2x x xxxxx? ? ???? ? ? ??? ??? 的 GaussSeidel 迭代格式，并分析此格式的斂散性。 1 數(shù)值分析試題 院系 ,專業(yè) ： 分數(shù)： 姓名 ,學(xué)號： 日期： . 注：計算題取小數(shù)點后四位。 1. (10分 )利用 GaussLegendre 求積公式 ??????11)()0()()( fffdxxf 導(dǎo)出求積分 03()f x dx??的三點高斯型求積公式。 3. (15分 )設(shè)矩陣2 1 0 11 0 3 00 2 0 13 0 1 0A?????????， （ 1）試計算 || ||A? 。 4. (10分 ) 求關(guān)于點集 ? ?1,2,3,4 的正交多項式 ? ?0 1 2( ), ( ), ( )x x x? ? ?。 （ 2）用 1 2 3,x x x 構(gòu)造二次 Newton 插值多項式 2()Nx，并計算 ? 的近似值 2()N 。 7． (10分 ) 設(shè) 矩陣 A 可逆， A? 為 A 的 誤差矩陣，證明：當(dāng)11A A???時， AA?? 也可逆 。39。 3 數(shù)值分析答案 01313 3 31 . 1 0 ( ) ( )2 2 20 .8 3 3 4 ( 2 .6 6 1 9 ) 1 .3 3 3 4 ( 1 .5 ) 0 .8 3 3 4 ( 0 .3 3 8 1 )f x d x f t d tf f f????? ? ? ? ? ???（ 分 ）( 1 ) ( ) ( )1 2 3( 1 ) ( 1 )21( 1 ) ( 1 )311321 2 35 2 22. 15 ( 1 ) / 3( 2 2 ) / 70 2 21 0 2 2221 3 0 0 0332 0 7 044077223 0 21 26 02 0 7260,21k k kkkkkGx x xxxxxB?? ? ? ???? ? ???????? ? ? ??????? ???????? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??????