【正文】 ?? ? ? ?? ? ?（ 分 ）迭 代 矩 陣 的 特 征 方 程 為26, ( ) 1 ,21GB? ?? 發(fā) 散 4 ? ? ? ?? ?? ?223 . 1 5 ( 1 ) 4 ,( 2 ) 2 , 1 , 0 , 3 , 2 , , 0 , 0 , , 20 , 3 , 0 , 3 ,121 0 0 00130031 222 0 , 3 , 0 , 30 0 0 1 063 3100221 3 1 320222 0 3 02 3 1 2 300220 0 1 0TTTTTAx y x yuu x y wH I w w IHAH????? ? ? ? ?? ? ? ??????????? ??????? ? ? ? ???????????????????????????? ??? ??????????（ 分 ）??????? 20 1 24 . 1 0 ( ) 1 , ( ) 2 .5 , ( ) ( 2 .5 ) 1 .2 5x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?（ 分）2121225. 10 ( ) , ( )1 1 0. 82 4 1. 5, , ,3 9 1. 84 16 2. 030 10 0 17 .2 0. 94 97,10 0 35 4 55 0. 11 29( ) 0. 94 97 0. 11 29x x x xYaabbs x x x????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???（ 分） 5 2221 2 2 22 2 2 26. 20 ( ) ,( ) 9 3 ( 1 ) 4( 1 ) ( 3 )( ) , 0( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 04 4( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 04LN x x x xNR f L L NR f N L N?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??（ 分）2 3 4( 4 )0 1 1 1 1 12 3 4( 4 )2 1 1 1 1 22239。 ( 4 )0 1 21 28.( 10 ) ( ) ( ) 39。39。39。( ) ( )2 3! 4 !( ) ( ) 39。39。39。( ) ( )2 3! 4 !( ) 2 ( ) ( )( ) ( )12h h hf x f x hf x f x f x fh h hf x f x hf x f x f x fhf x f x f x hf x fh???? ? ? ? ?? ? ? ? ?????分兩式相加除 ，得 6 數(shù)值分析試題 院系 ,專業(yè) ： 分數(shù)： 姓名 ,學號： 日期： . 注：計算題取小數(shù)點后四位。（不用計算 GAGT） 3211A ????????，求 1( ) .condA 103 1 1( ) ( ) ( 1 )4 3 4f x d x f f??? 的代數(shù)精度 . 7 三、 (12分 )已知矩陣 0 2 02 1 20 2 1A?????????， 用施密特正交化方法求矩陣 A 的正交分解，即 A=QR. 四、 (10分 ) 應用 Lagrange 插值基函數(shù)法，求滿足下面插值條件的 Hermite 插值多項式。0 0 01 1 1iiix y y 五、 (10分 )設(shè) ()fx三階連續(xù)可導， 0 , 0, 1 , x ih i? ? ?試推導如下數(shù)值微分 公式的截斷誤差 0 1 22 ( ) 4 ( ) 3 ( )39。 七、 (15分 ) 用 最小二乘法確定一條經(jīng)過原點的二次曲線，使之擬合下列數(shù)據(jù) 0 1 .0 2 .0 3 .00 .2 0 .5 1 .0 1 .2iixy??? 并求最小二乘擬合誤 差 2? 。 2 2 2 24 3 4t a n , c o s , sin3 5 51 0 00 3 / 5 4 / 50 4 / 5 3 / 5jii j i jxxCSx x x xG1. ? ? ?? ? ? ? ? ? ????????????? 9 1 2 11 1 12 2 2 1 1 2 1 23 3 3 1 1 3 2 2 3 1 2112 1 22 1 2 312 ( 0, 2, 0 ) , ( 2, 1 , 2 ) , ( 0, 2, 1 ) ,( 0, 2, 0 ) , ( 0, 1 , 0 ) ,1( , ) ( 2, 0, 2 ) , ( 1 , 0, 1 )211( , ) ( , ) 2 ( 1 , 0, 1 )2222211222T T TTTTTTu u uvuv u u uv u u u uuuu?? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??????? ? ?三（. 分）2 1 20 1 / 2 1 / 21 0 0 0 2 2 1 / 20 1 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2A Q R????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 112 39。12139。121211. 10H ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) 2 ( ) ,( 1 ) 1 , 23( 1 ) 2 ( ) 0,( ) ( 2 3 )( ) ( 1 ) , ( ) ( 3 2 ) ,( 1 ) 1( ) ( 1 )( ) ( ) ( )x h x h xh x x ax b h x x ax b axh a b abh a b ah x x xh x x x h x x xhh x x xH x h x h x x?????? ? ? ? ?? ? ?? ???????? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ?四 （ 分 ）令由 解 得令由223( 2 3 ) ( 1 )2x x xxx? ? ? ??? 五、 (10分 ) 10 230 2 2 2 1231 2 2 2 22( 3 )0 1 2248( ) ( ) 2 39。 39。 39。 ( )2 3 !( ) ( ) 39。 39。 39。 ( )2 3 !( ) 4 ( ) 3 ( )39。（ ）當 時 ， 收 斂 最 快 。 一、 填空題 (每空 3分，共 15分 ) 1. 形如0( ) ( )nbkka kf x d x A f x?? ??的插值型求積 公式，其代數(shù)精度 至少可達 ______ 次， 至多可達 ______ 次。 b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1 : n ) b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) 。 二、 簡單計算題 (每小題 6分，共 18 分 ) 1. 已知矩陣1 2 52 2 15 1 1A???????????，求 Householder 變換陣 H 使 HAH 為三對角陣。 13 三、 (12分 ) 已 知 一 組 線 性 無 關(guān) 的 向 量 1 2 3( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ,.T T Tu u u? ? ? ??????????由 此 向 量 組 ， 按 Schmidt 正 交 化 方 法 ， 求 一 組 A 共 軛 向 量 組 ,1 0 0其 中 A = 0 2 00 0 1 四、 (12分 ) 應用 Lagrange 插值基函數(shù)法，求滿足下面插值條件的 Hermite 插值多項式 , 并寫出截斷誤差。0 1 20 1 200iiixyy 五、 (12分 )設(shè)線性方程組為 1 2 31 2 31 2 34 2 1322 4 3x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ? ?? (1) 寫出用 SOR 迭代法求解此方程組的分量計算格式； (2) 當取 2?? 時， SOR 迭代法是否收斂，為什么？ (3) 當取 1?? 時， SOR迭代法是否收斂，為什么？ 六、 (12分 )已知高斯求積公式 11( ) ( 0 . 5 7 7 3 5 ) ( 0 . 5 7 7 3 5 )f x d x f f?? ? ?? 將區(qū)間 [0,1]二等分，用復化高斯求積法求定積分 10xdx? 的近似值。 數(shù)值分析答案 一、 填空題 (每空 3分，共 15分 ) 1. n , 2n+1 . 2. ( 1) ( 1)!n n?? 3. [1, 2, 3, 4, 5] 2f ? 4. , , , ,n n n nL x b L R x R b R?? ? ? ?解 其中 為下三角陣 二、 簡單計算題 (每小 題 6分，共 18分 ) 2. 1232 , 7 , 2 ,26TTA A A A ????? ? ????? 的 特 征 值 為， 12 2 7( ) 3 .52c o nd A ??? ? ? 3. 1 0 0 2 1 12 1 0 0 1 01 1 1 0 0 2A LU?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 2 1 ( 1 , 1 , 1 ) , ( , , )2 2 2TTv u v v?? ? ? ? ? ?三（ 分）解法 ： 2 2 2 1 1 1 1 1( , ) ( 2 , 1 , 0 ) 2 ( , , ) ( 1 , 0 , 1 )2 2 2T T Tv u u A ??? ? ? ? ? ? 2 2 2 11( , 0 , )22 Tvv? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ????( 2, 5 ) , 3, ( 3, 0 ) , ( 5, 5 )1 0 00 2 / 3 5 / 30 5 / 3 2 / 3T T Tx y u x yH1. 15 3 3 3 1 1 3 2 2( , ) ( , )1 1 1 1 1 1 1( 0, 1 , 1 ) ( , , ) ( , 0, )2 2 2 2 2 2 23 ( 1 , 1 , 1 )4T T TTv u u A u A? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? 3 3 3 111( , , )222 Tvv? ? ? ? 11. 12 ( 1 , 1 , 1 ) ,Tvu? ? ?三（ 分）解法2 ： 2 2 12111( 2, 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 0, 1 )( , ) 4 1( , ) 4T T Tv u vu Avv Av??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 1 1 2 23 1 3 2121 1 2 21 1 3( 0, 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 0, 1 ) ( 1 , 1 , 1 )4 2 4( , ) ( , )11,( , ) 4 ( , ) 2T T T Tv u v vu A v u A vv A v v A v????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 122212211223