數值分析實驗報告-資料下載頁
2025-07-21 10:49本頁面
【正文】 Romberg積分公式高速有效，易于編程，適合于計算機計算。但他有一個主要的缺點是，每當把積分區(qū)間對分后，就要對被積函數f(x)計算它在新分點處的值，而這些函數值的個數是成倍增加的。7 冪法 問題背景工程及物理中的許多實際問題需要計算矩陣的特征值及特征向量，對于給定的n階實矩陣A，當n很小時用傳統(tǒng)的方法是可以的，但當n稍大時，計算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計算存在誤差，用方程(λIA)x=0求解十分困難。在實際應用中，有的時候不一定需要求出矩陣的全部特征值和特征向量，例如只需要求出按模最大的或最小的特征值。求這類特征值的方法，通常采用迭代法，其中兩種是冪法和反冪法。 數學模型 理論基礎設An有n個線性相關的特征向量v1，v2，…，vn，對應的特征值l1，l2，…，ln，滿足|l1| |l2| 179。 …179。 |ln| ，因為{v1，v2，…，vn}為Cn的一組基，所以任給x(0)185。0，所以有：若a1 185。 0，則因知，當k充分大時A(k)x(0) 187。 l1ka1v1 = cv1屬λ1的特征向量另一方面，記max(x)=xi，其中|xi| = ||x||165。，則當k充分大時，若a1=0，則因舍入誤差的影響，會有某次迭代向量在v1方向上的分量不為0，迭代下去可求得λ1及對應特征向量的近似值?！嵗脙绶ㄓ嬎憔仃嘇=310132023絕對值最大的特征值及相應的特征向量，取精度要求為ε=104?！∮嬎惴椒▋绶∕atlab程序：function [m,u,index]=pow(A,ep,it_max)if nargin3 it_max=100。endif nargin2 ep=1e5。endn=length(A)。u=ones(n,1)。index=0。k=0。m1=0。while k=it_max v=A*u。[~,i]=max(abs(v))。 m=v(i)。u=v/m。 if abs(mm1)ep index=1。break。 end m1=m。k=k+1。end在命令窗口輸入和輸出如下圖所示： 誤差分析冪法程序可以用來計算矩陣絕對值最大的特征值及相應的特征向量。冪法的缺點是開始的時候并不知道矩陣是否有單一的主特征值，也不知道如何選擇v0以保證它關于矩陣特征向量的表達中包含一個與主特征值相關的非零特征向量。采用冪法和反冪法，求矩陣的最大和最小特征值，從原理上看，這兩種方法都是迭代法，因此迭代初始向量的選擇對計算結果會產生一定影響，主要表現(xiàn)在收斂速度上。同時，原點位移m的選取也影響收斂的速度，但原點位移m0的適當選取依賴于對矩陣A的大致了解。8 改進歐拉法 問題背景在工程和科學技術的實際問題中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少數較簡單和典型的常微分方程（例如線性常系數常微分方程等）可求出其解析解,對于變系數常微分方程的解析求解就比較困難，而一般的非線性常微分方程的求解困難就更不用說了。大多數情況下，常微分方程只能用近似方法求解。這種近似解法可分為兩大類：一類是近似解析法，如級數解法、逐次逼近法等。另一類是數值解法，它給出方程在一些離散點上的近似值?！祵W模型 理論基礎如果在計算中，先用Euler公式求得一個初步的近似值yn+1（稱為預測值），再用梯形公式將它校正一次，就稱為預測校正公式，即改進的Euler方法，其迭代格式為預測：校正： 實例求解初值問題dydx=y+x+1y|x=0=1，已知精確解為：y=x + ex，h=?！祵W模型改進歐拉法程序：clearclc X0=0。X1=1。n=10。h=1/n。 y(1)=1。x(1)=X0。 X=X0:h:X1。Y=X+exp(X)。Y=vpa(Y39。,9)。 %精確解 XX=X0::X1。YY=XX+exp(XX)。 for i=1:n x(i+1)=x(i)+h。 y(i+1)=y(i)+h*(y(i)+x(i)+1)。endfor i=1:n y(i+1)=y(i)+*h*((y(i)+x(i)+1)+(y(i+1)+x(i+1)+1))。end y=vpa(y39。,9)plot(x,y,39。*39。)hold onplot(XX,YY)運行結果：改進歐拉法圖像： 誤差分析改進的Euler法與Euler法相比較，改進的Euler法的計算精度更高，相對誤差也比較小。因此在求解微分方程的數值解時，改進的Euler法優(yōu)于Euler法。改進的Euler法步長h越小則計算精度越高，相對誤差較小。因此，計算能力允許的范圍內，選取步長越小可以得到更加精確的結果。在利用改進的Euler法過程中，前一次迭代的結果會對下一輪求得的數值產生影響。因此，一旦上一輪迭代所得的結果有偏差，下一輪結果的偏差將大于上一輪的偏差。因此會導致伴隨迭代次數的增加而產生更大的偏差。21
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