蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章圓錐曲線(xiàn)與方程章末總結(jié)-資料下載頁(yè)
2024-12-05 09:21本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】在直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的位置關(guān)系中有一種情況，即直線(xiàn)與其交于一點(diǎn)和切于一點(diǎn)，例3設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線(xiàn)y2＝4px(p>0)上除原點(diǎn)O以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)？圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)，3＝1相交于A、B兩點(diǎn)，∵e＝ca＝2，∴c＝2a.由雙曲線(xiàn)的定義，得|PF1－PF2|＝2a＝c，由①②，得c2＝16，c＝4，則a＝2，b2＝c2－a2＝12，證明∵OM→，ON→＝，于是直線(xiàn)AB的斜率為kAB＝k1－k2，將①②相乘，得y2＋4pky＝－x，又k2x－ky＝x，代入③式并化簡(jiǎn)，當(dāng)k＝±1時(shí)，易求得直線(xiàn)AB的方程為x＝4p.
【正文】 → ⊥ ON→ ，即 OM⊥ ON. 例 3 解 設(shè)直線(xiàn) OA 的方程為 y＝ kx (k≠177。1 ，因?yàn)楫?dāng) k＝ 177。1 時(shí)，直線(xiàn) AB 的斜率不存在 )，則 直線(xiàn) OB的方程為 y＝－ xk， 進(jìn)而可求 A??? ???4pk2， 4pk 、 B(4pk2，－ 4pk)． 于是直線(xiàn) AB的斜率為 kAB＝ k1－ k2， 從而 kOM＝ k2－ 1k ， ∴ 直線(xiàn) OM的方程為 y＝ k2－ 1k x， ① 直線(xiàn) AB的方程為 y＋ 4pk＝ － kk2－ 1(x－ 4pk2)． ② 將 ①② 相乘，得 y2＋ 4pky＝－ x(x－ 4pk2)， 即 x2＋ y2＝－ 4pky＋ 4pk2x＝ 4p(k2x－ ky)， ③ 又 k2x－ ky＝ x，代入 ③ 式并化簡(jiǎn)， 得 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2. 當(dāng) k＝ 177。1 時(shí)，易求得直線(xiàn) AB 的方程為 x＝ 4p. 故此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (4p,0)，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x≠0) 上． ∴ 點(diǎn) M的軌跡方程為 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x≠0) ， ∴ 其軌跡是以 (2p,0)為圓心，半徑為 2p的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)． 例 4 證明 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 聯(lián)立????? y＝ kx＋ m，x24＋y23＝ 1， 得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx＋ 4(m2－ 3)＝ 0， 則????? Δ ＝ 64m2k2－ ＋ 4k2 m2－ ，x1＋ x2＝－ 8mk3＋ 4k2，x1x2＝ m2－3＋ 4k2 . 即????? 3＋ 4k2－ m20，x1＋ x2＝－ 8mk3＋ 4k2，x1x2＝ m2－3＋ 4k2 . 又 y1y2＝ (kx1＋ m)(kx2＋ m) ＝ k2x1x2＋ mk(x1＋ x2)＋ m2 ＝ m2－ 4k23＋ 4k2 . ∵ 橢圓的右頂點(diǎn)為 A2(2,0)， AA2⊥ BA2， ∴ (x1－ 2)(x2－ 2)＋ y1y2＝ 0. ∴ y1y2＋ x1x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0. ∴ m2－ 4k23＋ 4k2 ＋m2－3＋ 4k2 ＋16mk3＋ 4k2＋ 4＝ 0. ∴ 7m2＋ 16km＋ 4k2＝ 0， 解得 m1＝－ 2k， m2＝－ 2k7 ，且均滿(mǎn)足 3＋ 4k2－ m20. 當(dāng) m1＝－ 2k時(shí)， l的方程為 y＝ k(x－ 2)， 直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) (2,0)，與已知矛盾． 當(dāng) m2＝－ 2k7 時(shí)， l的方程為 y＝ k??? ???x－ 27 ，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) ??? ???27， 0 ， ∴ 直線(xiàn) l過(guò)定點(diǎn)． 例 5 解 因?yàn)?A(4,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè) A′ 為橢圓的左 焦點(diǎn)，則 A′( － 4,0)，由橢圓定義知 MA＋ MA′ ＝ 10. 如圖所示，則 MA＋ MB＝ MA＋ MA′ ＋ MB－ MA′ ＝ 10＋ MB－ MA′≤10 ＋ A′ B. 當(dāng)點(diǎn) M在 BA′ 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng) M為射線(xiàn) BA′ 與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (MA＋ MB)max＝ 10＋ A′ B＝ 10＋ 2 10. 又如圖所示， MA＋ MB＝ MA＋ MA′ － MA′ ＋ MB ＝ 10－ (MA′ － MB) ≥10 － A′ B， 當(dāng) M在 A′ B的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng) M為射線(xiàn) A′ B與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (MA＋ MB)min＝ 10－ A′ B＝ 10－ 2 10. 例 6 解 由題意， F1F2＝ 2. 設(shè)直線(xiàn) AB方程為 y＝ kx＋ 1， 代入橢圓方程 2x2＋ y2＝ 2， 得 (k2＋ 2)x2＋ 2kx－ 1＝ 0， 則 xA＋ xB＝－ 2kk2＋ 2， xA178。 xB＝－ 1k2＋ 2， ∴ |xA－ xB|＝ k2＋k2＋ 2 . S△ ABF2＝ 12F1F2178。| xA－ xB|＝ 2 2179。 k2＋ 1k2＋ 2 ＝ 2 2179。 1k2＋ 1＋ 1k2＋ 1≤2 2179。 12＝ 2. 當(dāng) k2＋ 1＝ 1k2＋ 1，即 k＝ 0時(shí)， S△ ABF2有最大面積為 2.
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