【導讀】試題分析：由橢圓的定義得1212210,210AFAFaBFBFa??????試題分析：由橢圓的離心率e＝21得32ba?，方程ax2＋bx－c＝0的兩個實根分別為x1和。，所以點P必在圓x2＋y2＝2內，故選A．。系，把點P的橫坐標和縱坐標代入??yx上任意一點，則。yx所對應的曲線為連接橢圓四個頂點圍成的四邊形，并且該四邊形在橢圓的內部。A、221205xy-=B、221520xy-=C、2218020xy-=D、2212080xy-=. 試題分析：雙曲線22:1xyCab-=的漸近線為byxa=?2ab=，又210c=，222cab=+，聯(lián)立得2220,5ab==，所以C的方程為221205xy-=，③設定點12(0,3),(0,3)FF-，動點(,)Pxy滿足條件12PFPFaa+=>，則動點P. ④拋物線28yx=的焦點坐標是(0,2).其中真命題的個數為：__________.，與其準線相交于點?mMB.易知點A為FN的中。利用三角形相似得，，

　　

【正文】 2plx?? 過雙曲線 2212xy??的一個焦點 . （ 1） 求拋物線 C 的方程； （ 2） 設 M 為拋物線 C 上任意 一點 . ①設 2 : 4 3 6 0l x y? ? ?， 求 M 到 1l 與 2l 距離之和的最小值 ； ②以 M 為切點的拋物線的切線 l 與 1l 交于點 N，試問 x 軸上是否存在定點 Q，使 Q在以 MN為直徑的 圓上 . 若存在，求出點 Q 坐標，若不 存在，說明理由 . 【答案】（ 1） 2 4yx? ；（ 2） ① 2 ，②詳見解析． 【解析】 試題分析：（ 1）根據題意直線2px??過雙曲線 2212xy??的一個焦點，即可求得 p 的值，從而可得拋物線的方程；（ 2）①：利用拋物線的幾何意義，將 M 到 1l 的距離等價轉化為 M到拋物線焦點 (1,0)F 的距離，再根據圖形特點即可求解；②：設 2( , )4aMa，進而可將切線方程表示出來，以及求得 N 的坐標，再設 ( ,0)Qx ，利用 0MQ NQ??，即可驗證是否過定點 ． 試題解析 ：（ 1）∵雙曲線 2212xy??的兩個 焦點分別為 1( 1,0)F? ， 2(1,0)F ，直線 2px??過雙曲線 2212xy??的一個焦點，∴ 122p p? ? ? ? ?，∴拋物線 C 的方程為 2 4yx? ；（ 2） ①：如下圖所示， A M B M M F B M F B F H? ? ? ? ?，故所求最小值即為 F 到 2l 的距離，即所求最小值為22| 4 1 3 0 6 | 24 ( 3)? ? ? ? ??? ；②： 2( , )4aMa，顯然 0a? ，則過 M 的切線 l 的方程：2 212 ( )42aa y x y x aa? ? ? ? ?，令 1x?? ， 212yaa?? ? ，即 21( 1, )2Naa? ? ? ，設以MN 為直徑的圓與 x 軸的交點為 ( ,0)Qx ，∴ 2( , )4aM Q x a? ? ?， 21( 1, )2NQ x aa? ? ?， 20 ( 1 ) ( 2 ) 0 14aM Q N Q x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，∴存在定點 Q ，其坐標為 (1,0) . 考點： ； ； ； ． 【方法點睛】定點問題的常見解法（ 1）假設定點坐標， 根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；（ 2）從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意． 11. 【浙江省寧波市效實中學 20202020 學年高二上學期期中考試】 已知橢圓? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?的離心率 33e? ， 它的上頂點為 A ，左、右焦點為 1F ， 2F ，直線 1AF ， 2AF 分別交橢圓于點 B ， C . （ 1） 判斷 BO 是否平分線段 AC ，說明理由； （ 2）若 112BO? ， ? ?02P ， ，過 P 的動直線 l 交橢圓于 M ， N 兩點，在線段 MN 上取點 Q ，使 MP MQPN QN?. ①寫出橢圓 E 的方程；②求點 Q 的 軌跡方程 . 【答案】（ 1）平分，理由詳見解析；（ 2）① 22132xy??，② 1y? ， 66( , )22x?? . 【解析】 試題分析：（ 1）根據題意，可分別求得 A ， B ， C 三點的坐標，利用中點坐標公式判斷 AC中點是否在直線 BO 上即可；（ 2）①：利用（ 1）中求得的 B 點坐標，即 可求得 c 的值，從 而得到橢圓 E 的方程，②：若直線 l 斜率存在，設 l ： 2y kx??， 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，( , )Qxy ，聯(lián)立方程組后消去 x ，從而問題等價于利用已知條件探求 x ， y 滿足的關系式，還需驗證 l 斜率不存在時是否符合軌跡方程即可 . 試題解析 ：（ 1）∵橢圓 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?離心率 33e? ，∴ 3 33c aca ? ? ?，2bc? ， ∴ 2 2 2: 2 3 6E x y c??， (0, 2 )Ac，∴ 1AF ： 22y x c??，聯(lián)立方程組2 2 202222 3 6xy x cycx y c?? ??????????? ?? ?? 或3222xcyc? ?????? ????，即 32( , )22B c c?? ，∴ BO ： 23yx? ，同理可得 32( , )22C c c? ，∴AC 中點 32( , )44cc在直線 BO 上，∴ BO 平分線段 AC ；（ 2）①：221 1 3 2 1 1| | ( ) ( ) 12 2 2 4B O c c c? ? ? ? ? ? ? ?， ∴橢圓 E 的方程為 22132xy??；②：若 l 的斜率存在：設 l ： 2y kx??， 11( , )M x y ，22( , )N x y ， ( , )Qxy ， 22222( 2 3 ) 12 6 0132y k xk x k xxy????? ? ? ? ?? ????，由22 61 4 4 2 4 ( 2 3 ) 0 3k k k? ? ? ? ? ? ? ?或 63k? ， ∵ MP MQPN QN?，∴ 1 1 1 21 2 1 2 1 22 2 1 22x x x x xx x x x x x x x xx x x x x?? ? ? ? ? ? ???， 即 22621231223kx kkk? ?? ? ?? ?， 12 ( ) 2 1y k x k k? ? ? ? ? ? ?，又∵ 63k?? 或 63k? ， ∴ 66( , 0 ) ( 0 , )22x ?? ；若 l 斜率不存在，易驗證此時 (0,1)Q ，綜上所述，點 Q 的軌跡方程為 1y? ， 66( , )22x?? . 考點： ； ； ． 12. 【四川省綿陽南山中學 20202020學年高二上學期期中考試】 （本小題滿分為 10分） 已知中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓 C 的離心率為 21 ，且經過點 M(1， 23 )，過點 P(2,1)的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 A， B. （Ⅰ） 求橢圓 C 的方程； （Ⅱ） 是否存在直線 l ，滿足 2PMPBPA ?? ?若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由． 【答案 】 （Ⅰ） 22143xy??（Ⅱ） 02 ?? yx 【解析】 試題分析：（ 1）先設橢圓的標準方程，將點 M代入得到一個方程，根據離心率得到一個關系式，再由 2 2 2a b c??可得到 ,abc的值，進而得到橢圓的方程．（ 2）假設存在直線滿足條件，設直線方程為 ? ?21y k x? ? ?，然后與橢圓方程聯(lián)立消去 y得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故 應△大于 0得到 k的范圍，進而可得到兩根之和、兩根之積的表達式，再表示出 ,PA PB PM ，再代入關系式 2PMPBPA ?? 可確定 k 的值，從而得解 試題解析： (1)設橢圓 C 的方程為 22xa＋ 22yb＝ 1(ab0)， 由題意得222 2 2191412abcaa b c? ????? ????????解得 a2＝ 4， b2＝ C 的方程 為22143xy??. ???????? 4分 (2)若存在直線 l滿足條件，由題意可設直線 l的方程為 y＝ k(x－ 2)＋ 1，由? ?2214321xyy k x? ????? ? ? ?? 得 (3＋ 4k2)x2－ 8k(2k－ 1)x＋ 16k2－ 16k－ 8＝0. ???????? 5分 因為直線 l與橢圓 C 相交于不同的兩點 A， B， 設 A， B 兩點的坐標分別為 (x1， y1)， (x2， y2)， 所以 Δ＝ [－ 8k(2k－ 1)]2－ 4(3＋ 4k2)(16k2－ 16k－ 8)0. 整理得 32(6k＋ 3)0，解得 k－ 12. ???????? 6分 又 x1＋ x2＝ ? ?28 2 134kkk??， x1x2＝ 2216 16 834kkk???， 且 2PA PB PM?? , 即 (x1－ 2)(x2－ 2)＋ (y1－ 1)(y2－ 1)＝ 54 ， 所以 (x1－ 2)(x2－ 2)(1＋ k2)＝ 54 ， 即 [x1x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4](1＋ k2)＝ 54 . ???????? 8分 所以 [ 2216 16 834kkk???－ 2 ? ?28 2 134kkk??＋ 4](1＋ k2)＝ 224434kk??＝ 54 ， 解得 k＝ 177。12 ???????? 9分 所以 k＝ 12 .于是存在直線 l滿足條件， 其方程為 02 ?? yx ???????? 10分 考點： ； 合問題 13.【江西省吉安市第一中學 20202020學年高二上學期期中考試】 （本小題滿分 12 分）已知拋物線 2 2y px? ( 0)p? 焦點為 F，拋物線上橫坐標為 12 的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等 . （ 1）求拋物線的方程； （ 2）設過點 (6,0)P 的直線 l 與拋物線交于 A， B 兩點，若以 AB 為直徑的圓過點 F，求直線 l 的方程 . 【答案】 (1) 2 4yx? ； (2) : 2 12 0l x y? ? ? （ 2）由題意可知，直線 l 不垂直于 y 軸， 可設直線 :6l x my??， 則由 2 46yxx my? ?? ???，可得： 2 4 24 0y my? ? ?， 設 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則 1212424y y myy???? ???， 因為以 AB 為直徑的圓過點 F，所以 FA FB? ，即 0FA FB??， 可得： 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x y y? ? ? ?， ∴ 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 5 ( ) 25x x y y m y y m y y? ? ? ? ? ? ? ? 2224( 1 ) 20 25 0mm? ? ? ? ? ?， 解得： 12m??， ∴直線 1:62l x y?? ?，即 : 2 12 0l x y? ? ?. ……… .12 分 考點：拋物線的標準方程；直線與拋物線的綜合問題 . 14.【江西省吉安市第一中學 20202020學年高二上學期期中考試】 （本小題滿分 12 分）已知橢圓 C的方程是 221xyab??( 0)ab?? ，點 A， B分別是橢圓的長軸的左、右端點，左焦點坐標為 ( 4,0)? ，且過點 35( , 3)22P . （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）已知 F是橢圓 C的右焦點，以 AF 為直徑的圓記為圓 M，試問：過 P 點能否引圓 M 的切線，若能，求出這條切線與 x軸及圓 M的弦 PF所對的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由 . 【答案】 (1) 22136 20xy??； (2) 75 3 256 ?? 【解析】 試題分析： （ 1）由題設知 2216ab??，即橢圓的方程為 22116xybb??? ，由點 35( , 3)22 在橢圓上，知229 75 14( 16) 4bb???，由此能求出橢圓 C的標準方程；（ 2）由 ( 6,0), (4,0)AF? ，35( , 3)22P 知 15 5( , 3)22AP ? ， 55( , 3)22FP ?? ，所以 0AP FP??以 AF 為直徑的圓M 必過點 P，因此，過 P 點能引出該圓 M 的切線，設切線為 PQ，交 x軸 于 Q 點，又 AF 的中點為 ( 1,0)M? ，則顯然 PQ⊥ PM，由此能求出所求的圖形面積． 試題解析： （ 1）因為橢圓 C 的方程為 221xyab??， ( 0)ab?? ， ∴ 2216ab??，即橢圓的方程為 22116xybb??? ， ………………… .1 分 ∵點 35( , 3)22 在橢圓上，∴229 75 14( 16) 4bb???， ………………… .2 分 解得： 2 20b ? 或 2 15b ?? （舍），由此得 2 36a ? ， ………………… .3 分 所以，所求橢圓 C 的標準方程為 22136 20xy??.………………… 4 分 （ 2）由（ 1）知 ( 6, 0), (4, 0)AF? ，又 35( , 3)22P ， ……………