【正文】 M? ，由橢圓的定義知，動點 P 的軌跡是以MN、 為焦點， 4為長軸長的橢圓，求出軌跡即可；（ II）由于2 2 4 2 2P M P N R? ? ? ? ? ?，所以 2R? ；當且僅當圓 P 的圓心為 ? ?2,0 ， 2R? 時，其半徑最大，其方程為 22( 2) 4xy? ? ?.再分：當直線 l 的斜率存在和不存在兩種情況討論即可求出弦長． 試題解析：（Ⅰ）由圓 1)1(: 22 ??? yxM 的方程知，圓 心 ? ?1,0M ? ，半徑為 1；圓9)1(: 22 ??? yxN 的圓心 ? ?1,0N ，半徑為 3；設動圓 P 的半徑為 R ，由動圓 P 與圓 M 外切并且與圓 N 內(nèi)切得 ? ?1 3 4P M P N R R? ? ? ? ? ?，而 2NM? ，由橢圓的定義知，動點 P 的軌跡是以 MN、 為焦點， 4為長軸長的橢圓，所以 2 2 22 , 1 , 3a c b a c? ? ? ? ?，因此曲線 C 的軌跡方程為22 1( 2)43xy x? ? ? ?. （Ⅱ）設曲線 C 上任意一點 ? ?,Pxy ，由于 2 2 4 2 2P M P N R? ? ? ? ? ?，所以 2R? ；當且僅當圓 P 的圓心為 ? ?2,0 ， 2R? 時，其半徑最大，其方程為 22( 2) 4xy? ? ?. 當直線 l 的斜率不存在時，則 l 與 y 軸重合，可得 23AB? ； 當直線 l 的斜率存在時，由于圓 M 的半徑 1R? ，可知 l 與 x 軸不平行；設 l 與 x 軸的交點為Q ，則QP RQM r?，可得 ? ?4,0Q? ，所以可設 ? ?:4l y k x??，由 l 于 M 相切可得23 11 kk ??，解得 24k?? ； 當 24k? 時，聯(lián)立222 24143yxxy? ?????? ???? ，得 27 8 8 0xx? ? ? ，∴ 1 2 1 288,77x x x x? ? ? ? ?，所以2 2 212 2 8 8 1 81 1 ( ) ( ) 4 ( )4 7 7 7A B k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 由于對稱性可知，當 24k?? 時，也有 187AB? . 綜上可知， AB 的長為 23或 187 . 考點： 橢圓的定義及性質； 圓與圓的位置關系； 直線與圓錐曲線的位置關系． 【方法點晴】本題綜合考查了兩圓的位置關系、直線與圓相切的問題、橢圓的定義及性質以及直線與橢圓的位置關系等，是一道綜合性非常強的題目，屬于難題；解此類問題需要較強的推理能力和計算能力、分類討論的數(shù)學思想 .涉及直線和圓錐曲線的關系問題，常采用：直線與曲線聯(lián)立后得到一元二次方程，利用韋達定理和弦長公式，使得問題簡化，此類題目是高考試卷中常見的壓軸題． 3. 【湖南省衡陽市第八中學 20202020學年高二上學期期中考試】（本小題 10 分） 已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 軸，焦點在雙曲線 上，求拋物線方程 . 【答案】拋物線方程為 y2＝ 8x或 y2＝－ 8x． 【解析】 試題分析：先表示出雙曲線的頂點，根據(jù)題意即可求出拋物線的方程 . 試題解析：由題 意知拋物線的焦點為雙曲線 4x2－ 2y2＝ 1的頂點，即為 (－ 2,0)或 (2,0)，所以拋物線的方程為 y2＝ 8x或 y2＝－ 8x . 考點： 雙曲線的性質； 拋物線的定義． 4. 【湖南省衡陽市第八中學 20202020學 年高二上學期期中考試】（本小題 12分）命題方程 是焦點在 軸 上 的 橢 圓 ， 命 題 函數(shù)在 上單調遞增 .若 為假， 為真，求實數(shù) 的取值范圍 . 【答案】實數(shù) 的取值范圍是 1 2或 3． 【解析】 試題分析：對于命題 ：方 程 是焦點在 軸上的橢圓可得 ≥ 題 ，由 ≥ 0對 恒成立得 1≤ ≤ 為假， 為真得 一真一假，分類討論即可 . 試題解析：對于命題 ，由條件可得 ≥ 2. 對于命題 ，由 ≥ 0對 恒成立得 ≤ 0 1≤ ≤ 3. 由 為假， 為真得 一真一假， 若 真 假時，則可得 3， 若 假 真時，則 可得 1 2， 綜上可得， 的取值范圍是 1 2或 3. 考點： 邏輯關系； 橢圓的性質； 函數(shù)的性質． 5. 【湖南省衡陽市第八中 學 20202020 學年高二上學期期中考試】已知中心在原點的雙曲線 的右焦點為 ，右頂點為 . （ 1）求雙曲線 的方程； （ 2）若直線 與雙曲線 恒有兩個不同的交點 和 ，且 （其中 為原點），求 的取值范圍 . 【 答 案】（ 1 ） 雙曲 線 的方程為 ；（ 2 ） 的 取 值 范 圍是. 【解析】 試題分析：（ 1）設雙曲線 ， 由已知得 ， ，再由，得 ， 故雙曲線 C 的方程為 ；（ 2）將 代入 ，由直線 與雙曲線交于不同的兩點得 ≠ 且 ，由 得，于是 ＞ 2，解得 ， 故 的取值范圍為 ． 試題解析：（ 1）設雙曲線 ， 由已知得 ， ，再由 ，得 ， 故 雙 曲 線 C 的 方 程 為 ??????????????????????????? 4分 （ 2）將 代入 得 . 由直線 與 雙 曲 線 交 于 不 同 的 兩 點 得 且 ≠ 且 ① 則 ， ， 由 得 ， 而 ???????????????????? 8分 于是 ＞ 2，即 ， 解此不等式得 ， ② 由①②得 ， 故 的 取 值 范 圍 為 .????????????????????? 12分 考點： 雙曲線的性質； 向量的數(shù)量積； 參數(shù)取值問題． 【思路點晴】本題考查的是雙曲線的性質、向量的數(shù)量積、參數(shù)取值范圍等問題，屬于難題； 先根據(jù)雙曲線的定義求出 的值，進而用待定系數(shù)法求得雙曲線的標準方程；圓錐曲線 問題一般都是設而不求的數(shù)學思想，把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立得到關于 的二次方程，由直線 與雙曲線交于不同的兩點得到關于 的一個不等式，用韋達定理寫出兩個根的關系，代入 公式中，再得到關于的 的不等式，聯(lián)立即可求出取值范圍． 6. 【西藏日喀則地區(qū)第一高級中學 20202020學年高二 10月月考】（本題滿分 12分 =5+7） 橢圓 C: 221xyab??（ 0ab?? ）的上頂點為 ? ， 4,33b???????是 C 上的一點，以 ?? 為直徑的圓經(jīng)過橢圓 C 的右焦點 F ． （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）動直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點，問：在 x 軸上是否存在兩個定點，它們到直線 l 的距離之積等于 1？如果存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在，說明理由 ． 【答案】（ 1） 2 2 12x y??；（ 2）存在兩個定點 ? ?1 1,0? ， ? ?2 1,0?? ，使它們到直線 l 的距離之積等于 1。 以 ?? 為直徑的圓經(jīng)過橢圓 C 的右焦點 F 即 F F 0?? ?? ，從而得到 b,c的一個方程，然后將點 P代入橢圓方程得到 a,b的一個方程，再結合 222 cba ?? ,三個量三個方程，從而求出參數(shù) a,b，進而求出橢圓方程；（ 2）是否存在性問題應假設存在去求解。假設存在兩點 ? ?11,0?? ， ? ?22,0?? 滿足題設，然后得到12dd??? ? ? ?21 2 1 2221 11k kmk? ? ? ?? ? ? ? ??。 （ 2）當直線 l 的斜率存在時，設其方程為 y kx m??，代入橢圓方程，消去 y ， 整理得 ? ?2 2 22 1 4 2 2 0k x k m x m? ? ? ? ? （ ? ） 方程（ ? ）有且只有一個實根，又 22 1 0k ?? ， 所以 0?? ，得 2221mk???????????? 8分 假設存在 ? ?11,0?? ， ? ?22,0?? 滿足題設，則由 ? ? ? ? ? ?221 2 1 21212222111 k k m kk m k mdd kk ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ?21 2 1 2221 11k k mk? ? ? ?? ? ? ????對任意 的實數(shù) k 恒成立， 所以， 1212210???????? ???解得， 1211????? ???或 1211?????? ?? 當直線 l 的斜率不存在時，經(jīng)檢驗符合題意． 總上，存在兩個定點 ? ?1 1,0? ， ? ?2 1,0?? ，使它們到直線 l 的距離之積等于 1． ?? 12分 考點： ?求橢圓方程； ?存在性問題。另外，常用定義法，即根據(jù)題意動點滿足到兩定點距離之和等于定長且定長大于兩定點間的距離，從而求出橢圓方程。本題是假設存在，并求出 ? ? ? ?21 2 1 2221 11k kmk? ? ? ?? ? ? ? ??，則要使其恒成立，需有參數(shù)的系數(shù)等于零即可求解。(3＋ 4k2)12 ???????? 9分 所以 k＝ 12 .于是存在直線 l滿足條件， 其方程為 02 ?? yx ???????? 10分 考點： ； 合問題 13.【江西省吉安市第一中學 20202020學年高二上學期期中考試】 （本小題滿分 12 分）已知拋物線 2 2y px? ( 0)p? 焦點為 F，拋物線上橫坐標為 12 的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等 . （ 1）求拋物線的方程； （ 2）設過點 (6,0)P 的直線 l 與拋物線交于 A， B 兩點，若以 AB 為直徑的圓過點 F，求直線 l 的方程 . 【答案】 (1) 2 4yx? ； (2) : 2 12 0l x y? ? ? （ 2）由題意可知，直線 l 不垂直于 y 軸， 可設直線 :6l x my??， 則由 2 46yxx my? ?? ???，可得： 2 4 24 0y my? ? ?， 設 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則 1212424y y myy???? ???， 因為以 AB 為直徑的圓過點 F，所以 FA FB? ，即 0FA FB??， 可得： 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x y y? ? ? ?， ∴ 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 5 ( ) 25x x y y m y y m y y? ? ? ? ? ? ? ? 2224( 1 ) 20 25 0mm? ? ? ? ? ?， 解得： 12m??， ∴直線 1:62l x y?? ?，即 : 2 12 0l x y? ? ?. ……… .12 分 考點：拋物線的標準方程；直線與拋物線的綜合問題 . 14.【江西省吉安市第一中學 20202020學年高二上學期期中考試】 （本小題滿分 12 分）已知橢圓 C的方程是 221xyab??( 0)ab?? ，點 A， B分別是橢圓的長軸的左、右端點，左焦點坐標為 ( 4,0)? ，且過點 35( , 3)22P . （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）已知 F是橢圓 C的右焦點，以 AF 為直徑的圓記為圓 M，試問：過 P 點能否引圓 M 的切線，若能，求出這條切線與 x軸及圓 M的弦 PF所對的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由 . 【答案】 (1) 22136 20xy??； (2) 75 3 256 ?? 【解析】 試題分析： （ 1）由題設知 2216ab??，即橢圓的方程為 22116xybb??? ，由點 35( , 3)22 在橢圓上，知229 75 14( 16) 4bb???，由此能求出橢圓 C的標準方程；（ 2）由 ( 6,0), (4,0)AF? ，35( , 3)22P 知 15 5( , 3)22AP ? ， 55( , 3)22FP ?? ，所以 0AP FP??以 AF 為直徑的圓M 必過點 P，因此，過 P 點能引出該圓 M 的切線，設切線為 PQ，交 x軸 于 Q 點，又 AF 的中點為 ( 1,0)M? ，則顯然 PQ⊥ PM，由此能求出所求的圖形面積． 試題解析： （ 1）因為橢圓 C 的方程為 221xyab??， ( 0)ab?? ， ∴ 2216ab??，即橢圓的方程為 22116xybb??? ， ………………… .1 分 ∵點 35( , 3)22 在橢圓上，∴229 75 14( 16) 4bb???， ………………… .2 分 解得： 2 20b ? 或 2 15b ?? （舍），由此得 2 36a ? ， ………………… .3 分 所以，所求橢圓 C 的標準方程為 22136 20xy??.………………… 4 分 （ 2）由（ 1）知 ( 6, 0), (4, 0)AF? ，又 35( , 3)22P ， …………………