【正文】 ?，2bc? ， ∴ 2 2 2: 2 3 6E x y c??， (0, 2 )Ac，∴ 1AF ： 22y x c??，聯(lián)立方程組2 2 202222 3 6xy x cycx y c?? ??????????? ?? ?? 或3222xcyc? ?????? ????，即 32( , )22B c c?? ，∴ BO ： 23yx? ，同理可得 32( , )22C c c? ，∴AC 中點(diǎn) 32( , )44cc在直線 BO 上，∴ BO 平分線段 AC ；（ 2）①：221 1 3 2 1 1| | ( ) ( ) 12 2 2 4B O c c c? ? ? ? ? ? ? ?， ∴橢圓 E 的方程為 22132xy??；②：若 l 的斜率存在：設(shè) l ： 2y kx??， 11( , )M x y ，22( , )N x y ， ( , )Qxy ， 22222( 2 3 ) 12 6 0132y k xk x k xxy????? ? ? ? ?? ????，由22 61 4 4 2 4 ( 2 3 ) 0 3k k k? ? ? ? ? ? ? ?或 63k? ， ∵ MP MQPN QN?，∴ 1 1 1 21 2 1 2 1 22 2 1 22x x x x xx x x x x x x x xx x x x x?? ? ? ? ? ? ???， 即 22621231223kx kkk? ?? ? ?? ?， 12 ( ) 2 1y k x k k? ? ? ? ? ? ?，又∵ 63k?? 或 63k? ， ∴ 66( , 0 ) ( 0 , )22x ?? ；若 l 斜率不存在，易驗(yàn)證此時(shí) (0,1)Q ，綜上所述，點(diǎn) Q 的軌跡方程為 1y? ， 66( , )22x?? . 考點(diǎn)： ； ； ． 12. 【四川省綿陽南山中學(xué) 20202020學(xué)年高二上學(xué)期期中考試】 （本小題滿分為 10分） 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 C 的離心率為 21 ，且經(jīng)過點(diǎn) M(1， 23 )，過點(diǎn) P(2,1)的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點(diǎn) A， B. （Ⅰ） 求橢圓 C 的方程； （Ⅱ） 是否存在直線 l ，滿足 2PMPBPA ?? ?若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由． 【答案 】 （Ⅰ） 22143xy??（Ⅱ） 02 ?? yx 【解析】 試題分析：（ 1）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn) M代入得到一個(gè)方程，根據(jù)離心率得到一個(gè)關(guān)系式，再由 2 2 2a b c??可得到 ,abc的值，進(jìn)而得到橢圓的方程．（ 2）假設(shè)存在直線滿足條件，設(shè)直線方程為 ? ?21y k x? ? ?，然后與橢圓方程聯(lián)立消去 y得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故 應(yīng)△大于 0得到 k的范圍，進(jìn)而可得到兩根之和、兩根之積的表達(dá)式，再表示出 ,PA PB PM ，再代入關(guān)系式 2PMPBPA ?? 可確定 k 的值，從而得解 試題解析： (1)設(shè)橢圓 C 的方程為 22xa＋ 22yb＝ 1(ab0)， 由題意得222 2 2191412abcaa b c? ????? ????????解得 a2＝ 4， b2＝ C 的方程 為22143xy??. ???????? 4分 (2)若存在直線 l滿足條件，由題意可設(shè)直線 l的方程為 y＝ k(x－ 2)＋ 1，由? ?2214321xyy k x? ????? ? ? ?? 得 (3＋ 4k2)x2－ 8k(2k－ 1)x＋ 16k2－ 16k－ 8＝0. ???????? 5分 因?yàn)橹本€ l與橢圓 C 相交于不同的兩點(diǎn) A， B， 設(shè) A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (x1， y1)， (x2， y2)， 所以 Δ＝ [－ 8k(2k－ 1)]2－ 4（ 2）是否存在性問題， 常假設(shè)存在去求解，如果求出存在；如果 求不出即不存在。 【解析】 試題分析：（ 1）設(shè) ? ?F ,0c 。 考點(diǎn)：橢圓上點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形（也叫焦點(diǎn)三角形）。利用三角形相似得， ，AFAMFOMB ?即551 1 mm ???，解得15 52 ??m,所以5152 ??? mmMFMN.故選 C。 考點(diǎn)：求雙曲線的離心率。二、只需給出一個(gè)條件列出關(guān)于 a,b,c三個(gè) 量的一個(gè)等量關(guān)系，并將 222 bac ?? 代入消去b，從而得到關(guān)于 a,c的二次齊次方程，然后將方程兩邊同時(shí)除以 2a 得到關(guān)于 ac 即 e 的一元二次方程求解即可。假設(shè)存在兩點(diǎn) ? ?11,0?? ， ? ?22,0?? 滿足題設(shè)，然后得到12dd??? ? ? ?21 2 1 2221 11k kmk? ? ? ?? ? ? ? ??。(3＋ 4k2)另外，常用定義法，即根據(jù)題意動點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)距離之和等于定長且定長大于兩定點(diǎn)間的距離，從而求出橢圓方程。若行車道總寬度 AB 為 6 米，則車輛通過隧道的限制高度是 米（精確到 米） 【答案】 【解析】 試題分析 ：取拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為 y軸，建立直角坐標(biāo)系， ? ?4, 4C ? ，設(shè)拋物線方程 ? ?2 20x py p? ? ?，將點(diǎn) C代入拋物線方程得 2p? ，∴拋物線方程為 2 4xy?? ，行車道總寬度 AB=6m，∴將 3x? 代入拋物線方程， ?? m ， 隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有 ? 米 ∴限度為 6 2 .2 5 3 .2 5dm? ? ? ，則車輛通過隧道的限制高度是 考點(diǎn)：拋物線的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解答二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問題有意義，求解時(shí)首先建立合適的坐標(biāo)系（以拋物線的頂點(diǎn) 為原點(diǎn)建系），通過點(diǎn)的坐標(biāo)得到曲線對應(yīng)的拋物線方程，求得拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo) ? ?3,y ，從而可確定 車輛頂部與隧道頂部在豎直方向上的距離，使其滿足最小為 ，進(jìn)而得到車輛的最大高度 7.【江西省吉安市第一中學(xué) 20202020學(xué)年高二上學(xué)期期中考試】 如圖，橢圓222:14xyC a ??( 2)a?，圓 2 2 2:4O x y a? ? ?，橢圓 C 的左、右焦點(diǎn)分別為 12,FF，過橢圓上一點(diǎn) P和原點(diǎn) O作直線 l 交圓 O 于 M， N 兩點(diǎn)，若 12| | | | 6PF PF??，則 | | | |PM PN?的值為 . 【答案】 6 【解析】 試題分析： 設(shè)出 P 的坐標(biāo)，把 P 的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，然后由焦半徑公式及12| | | | 6PF PF??，求得 P 的橫縱坐標(biāo)的平方和，由對稱性得到22 2 2 20204P M P N a O M a x y? ? ? ? ? ? ?? ，代入橫縱坐標(biāo)的平方和后整理得答案． 設(shè) 00,P x y（ ） ， ∵ P 在橢圓上，∴ 2 20220001 4 14y yxxaa? ? ? ? ?， （ ） ， ? ? ? ? ? ?222221 2 0 0 022 6466 4aaaP F P F a e x a e x e xaa ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， 由對稱性得? ? ? ?2 2 222 2 2 2 200226 4 64 4 4 4 644a a aP M P N a O M a x y a aa??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ． 考點(diǎn)： 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 【方法點(diǎn)睛】 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用 “ 點(diǎn)差法 ” 解決，往往會更簡單． 三、解答題 1. 【吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 20202020學(xué)年高二上學(xué)期期中考 試】 (本題滿分 12 分） 如圖，已知圓 1: 22 ?? yxO ，直線 )0,0(: ???? bkbkxyl 是圓的一條切線，且 l 與橢圓 12 22 ??yx 交 于不同的兩點(diǎn) BA, . （ 1）求 k 與 b 的關(guān)系； （ 2）若弦 AB 的長為 34 ，求直線 l 的方程 . 【答案】（ 1） k 與 b 的關(guān)系為 122 ??kb ；（ 2）直線 l 的方程為 2: ?? xyl ． 【解析】 試題分析：（ 1）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，知圓心到切線的距離等于半徑，即 112 ??? kbd，化簡得 122 ??kb ；（ 2） 設(shè) ),(),( 2211 yxByxA ，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得 2221221 21 22,21 4 kbxxkkbxx ? ?????? ，代入弦長公式 2 121A B k x x? ? ?中，再根據(jù)（ 1）中的結(jié)論求出 2,1 ?? bk ，所以直線 l 的方程為 2: ?? xyl ． 試題解析：（ 1）∵ 直線 l 與圓的相切，∴圓心到直線的距離 112 ??? kbd，∴ 122 ?? kb ； （ 2）由 ??? ?? ?? 2222 yxbkxy消去 y 得： 0224)21( 222 ????? bk b xxk ， 設(shè) ),(),( 2211 yxByxA ， 2221221 21 22,21 4 kbxxkkbxx ? ?????? ， ∴ 2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4A B k x x k x x x x? ? ? ? ? ? ?2 22 2 41 1 2 3kk k? ? ? ?? ∴ 2,1 ?? bk ∴ 2: ?? xyl . 考點(diǎn)： 圓的方程； 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的定義、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于難題；解答此類問題時(shí)一定要先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示出 12xx? 和 12xx 的關(guān)系式，再代入弦長 2 121A B k x x? ? ?中，聯(lián)立方程即可求出 k 與 b 的值，從而得 直線 l 的方程為 2: ?? xyl ． 2. 【吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 20202020學(xué)年高二上學(xué)期期中考試】 （本題滿分 12 分） 已知圓 1)1(: 22 ??? yxM ， 圓 9)1(: 22 ??? yxN ，動圓 P 與圓 M 外切并且與圓 N 內(nèi)切，圓心 P 的軌跡為曲線 C . （ I） 求曲線 C 的軌跡方程； （ II） l 是與圓 P 以及圓 M 都相切的一條直線， l 與曲線 C 交于兩點(diǎn) BA, ，當(dāng)圓 P 的半徑最長時(shí)， 求 AB 的長 . 【答案】（ I）曲線 C 的軌跡方程為22 1( 2)43xy x? ? ? ?；（ II） AB 的長為 23或 187 ． 【解析】 試題分析：（ I）設(shè)動圓 P 的半徑為 R ，由動圓 P 與圓 M 外切并且與圓 N 內(nèi)切得? ?1 3 4P M P N R R? ? ? ? ? ?，而 2NM? ，由橢圓的定義知，動點(diǎn) P 的軌跡是以MN、 為焦點(diǎn)， 4為長軸長的橢圓，求出軌跡即可；（ II）由于2 2 4 2 2P M P N R? ? ? ? ? ?，所以 2R? ；當(dāng)且僅當(dāng)圓 P 的圓心為 ? ?2,0 ， 2R? 時(shí)，其半徑最大，其方程為 22( 2) 4xy? ? ?.再分：當(dāng)直線 l 的斜率存在和不存在兩種情況討論即可求出弦長． 試題解析：（Ⅰ）由圓 1)1(: 22 ??? yxM 的方程知，圓 心 ? ?1,0M ? ，半徑為 1；圓9)1(: 22 ??? yxN 的圓心 ? ?1,0N ，半徑為 3；設(shè)動圓 P 的半徑為 R ，由動圓 P 與圓 M 外切并且與圓 N 內(nèi)切得 ? ?1 3 4P M P N R R? ? ? ? ? ?，而 2NM? ，由橢圓的定義知，動點(diǎn) P 的軌跡是以 MN、 為焦點(diǎn)， 4為長軸長的橢圓，所以 2 2 22 , 1 , 3a c b a c? ? ? ? ?，因此曲線 C 的軌跡方程為22 1( 2)43xy x? ? ? ?. （Ⅱ）設(shè)曲線 C 上任意一點(diǎn) ? ?,Pxy ，由于 2 2 4 2 2P M P N R? ? ? ? ? ?，所以 2R? ；當(dāng)且僅當(dāng)圓 P 的圓心為 ? ?2,0 ， 2R? 時(shí)，其半徑最大，其方程為 22( 2) 4xy? ? ?. 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，則 l 與 y 軸重合，可得 23AB? ； 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，由于圓 M 的半徑 1R? ，可知 l 與 x 軸不平行；設(shè) l 與 x 軸的交點(diǎn)為Q ，則QP RQM r?，可得 ? ?4,0Q? ，所以可設(shè) ? ?:4l y k x??，由 l 于 M 相切可得23 11 kk ??，解得 24k?? ； 當(dāng) 24k? 時(shí)，聯(lián)立222 24143yxxy? ?????? ???? ，得 27 8 8 0xx?