高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章3反證法課時(shí)作業(yè)-資料下載頁
2024-12-05 06:27本頁面
【導(dǎo)讀】3．應(yīng)用反證法導(dǎo)出矛盾的推導(dǎo)過程中，要把下列哪些作為條件使用：①結(jié)論相反判斷，C．存在x1∈M且x1∈N，又存在x2∈M且x2?[解析]按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個(gè)元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M，但x0?7．某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下問題：函數(shù)f在[0,1]上有意義，且f＝f，[解析]根據(jù)題意知，反證法解題是從假設(shè)原命題不成立開始，把結(jié)論的否定作為條件，8．用反證法證明命題“若p1p2＝2，則關(guān)于x的方程x2＋p1x＋q1＝0與x2＋p2x. 求證：∠A、∠B、∠C中至少有一個(gè)不小于60°.即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.差不為0的等差數(shù)列矛盾．故假設(shè)不成立，因此1a、1b、1c不能構(gòu)成等差數(shù)列.2．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少。sinB2＝cosB1＝π2－B1，sinC2＝cosC1＝π2－C1，那么，A2＋B2＋C2＝π2，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾．所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2
【正文】 的． 三、解答題 7．已知 a、 b是正有理數(shù)， a、 b是無理數(shù)，證明： a＋ b必為無理數(shù)． [證明 ] 假設(shè) a＋ b為有理數(shù)，記 p＝ a＋ b，因?yàn)?a、 b是正有理數(shù)，所以 pa＝ p－ b兩邊平方，得 a＝ p2＋ b－ 2p b，所以 b＝ p2＋ b－ a2p .因?yàn)?a、 b、 p均為有理數(shù)，所以 b必為有理數(shù)，這與已知條件矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤． 所以 a＋ b必為無理數(shù)． [點(diǎn)評(píng) ] 數(shù)學(xué)中的有些命題，所給條件不足以從正面證明結(jié)論正確，可采用反證法，否定結(jié)論，由此推出與已知或假設(shè)矛盾，證得結(jié)論． 8．已知函數(shù) f(x)＝ ax＋ x－ 2x＋ 1(a1)． (1)證明：函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞) 上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方 程 f(x)＝ 0沒有負(fù)實(shí)數(shù)根． [分析 ] (1)可直接用定義證明單調(diào)性； (2)應(yīng)用反證法要注意準(zhǔn)確作出反設(shè)． [證明 ] (1)任取 x1， x2∈ (－ 1，＋ ∞) ，不妨設(shè) x1x2，則 x2－ x10. ax2－ x11，且 ax10，所以 ax2－ ax1＝ ax1(ax2－ x1－ 1)0. 又因?yàn)?x1＋ 10， x2＋ 10， 所以 x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1 ＝ x2－ x1＋ － x1－ x2＋x1＋ x2＋ ＝ 3 x2－ x1x1＋ x2＋0. 于是 f(x2)－ f(x1)＝ ax2－ ax1＋ x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 10， 故函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞) 上為增函數(shù)． (2)假設(shè)存在 x00(x0≠ － 1)滿足 f(x0)＝ 0，則 ax0＝－ x0－ 2x0＋ 1. 又 0ax01，所以 0－ x0－ 2x0＋ 11，即 12x02，與假設(shè)矛盾． 故 x00不成立，故方程 f(x)＝ 0沒有負(fù)實(shí)數(shù)根． [點(diǎn)評(píng) ] 本題第 (2)問如果不用反證法證明也可以利用第 (1)問函數(shù)單調(diào)性證明，即 x－ 1時(shí)， f(x)0，－ 1x≤0 時(shí)， f(x)≤ f(0)＝－ 1，故當(dāng) x0時(shí)， f(x)≠0 ，所以無負(fù)實(shí)數(shù)根．
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