高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章3反證法課時(shí)作業(yè)(存儲版)
【正文】 0恒成立，這是不可能的，故 (1)不正確． (2)存在直線 y＝ 3(x＋ 1)過所有圓的圓心． (3)由于半徑 2k2隨著 k的無限增 大而增大，故不存在這樣的直線與所有的圓均不相交． (4)由于將 x＝ 0， y＝ 0代入方程中得不到恒等式，故所有的圓不經(jīng)過原點(diǎn)是正確的． 三、解答題 7．已知 a、 b是正有理數(shù)， a、 b是無理數(shù)，證明： a＋ b必為無理數(shù)． [證明 ] 假設(shè) a＋ b為有理數(shù)，記 p＝ a＋ b，因?yàn)?a、 b是正有理數(shù)，所以 pa＝ p－ b兩邊平方，得 a＝ p2＋ b－ 2p b，所以 b＝ p2＋ b－ a2p .因?yàn)?a、 b、 p均為有理數(shù)，所以 b必為有理數(shù)，這與已知條件矛盾，故假設(shè)錯誤． 所以 a＋ b必為無理數(shù)． [點(diǎn)評 ] 數(shù)學(xué)中的有些命題，所給條件不足以從正面證明結(jié)論正確，可采用反證法，否定結(jié)論，由此推出與已知或假設(shè)矛盾，證得結(jié)論． 8．已知函數(shù) f(x)＝ ax＋ x－ 2x＋ 1(a1)． (1)證明：函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞) 上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方 程 f(x)＝ 0沒有負(fù)實(shí)數(shù)根． [分析 ] (1)可直接用定義證明單調(diào)性； (2)應(yīng)用反證法要注意準(zhǔn)確作出反設(shè)． [證明 ] (1)任取 x1， x2∈ (－ 1，＋ ∞) ，不妨設(shè) x1x2，則 x2－ x10. ax2－ x11，且 ax10，所以 ax2－ ax1＝ ax1(ax2－ x1－ 1)0. 又因?yàn)?x1＋ 10， x2＋ 10， 所以 x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1 ＝ x2－ x1＋ － x1－ x2＋x1＋ x2＋ ＝ 3 x2－ x1x1＋ x2＋0. 于是 f(x2)－ f(x1)＝ ax2－ ax1＋ x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 10， 故函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞) 上為增函數(shù)． (2)假設(shè)存在 x00(x0≠ － 1)滿足 f(x0)＝ 0，則 ax0＝－ x0－ 2x0＋ 1. 又 0ax01，所以 0－ x0－ 2x0＋ 11，即 12x02，與假設(shè)矛盾． 故
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