高中數(shù)學411導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性同步練習含解析北師大版選修1-1-資料下載頁
2024-12-05 01:55本頁面
【導讀】13．已知函數(shù)f＝x3－ax－1.若f在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；1．利用導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關系可以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，即b＝－32，c＝－6.∴方程f′＝3ax2＋1＝0有兩個不等的實根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.12．解由題意知f的定義域為，假設f′＝3x2－a≤0在上恒成立，即f在上為減函數(shù)，所以a≥3.
【正文】 在 ??? ??? － a＋ 12a ，＋ ∞ 上單調(diào)遞減． 綜上，當 a≥0 時， f(x)在 (0，＋ ∞) 上單調(diào)遞增； 當 a≤ － 1時， f(x)在 (0，＋ ∞) 上單調(diào)遞減； 當－ 1a0 時， f(x)在 ??? ???0， － a＋ 12a 上單調(diào)遞增，在 ??? ??? － a＋ 12a ，＋ ∞ 上單調(diào)遞減． 13．解 (1)由已知，得 f′(x) ＝ 3x2－ a. 因為 f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞) 上是單調(diào)增函數(shù)， 所以 f′(x) ＝ 3x2－ a≥0 在 (－ ∞ ，＋ ∞) 上恒成立，即 a≤3x 2對 x∈ (－ ∞ ，＋ ∞) 恒成立． 因為 3x2≥0 ，所以只需 a≤0. 又 a＝ 0時， f′(x) ＝ 3x2≥0 ， f(x)在實數(shù)集 R 上單調(diào)遞增，所以 a≤0. (2)假設 f′( x)＝ 3x2－ a≤0 在 (－ 1,1)上恒成立， 則 a≥3 x2在 x∈ (－ 1,1)時恒成立． 因為－ 1x1，所以 3x23，所以只需 a≥3. 當 a＝ 3時，在 x∈ (－ 1,1)上， f′( x)＝ 3(x2－ 1)0， 即 f(x)在 (－ 1,1)上為減函數(shù)，所以 a≥3. 故存在實數(shù) a≥3 ，使 f(x)在 (－ 1,1)上單調(diào)遞減．
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