【導(dǎo)讀】不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種新型控制理論和方法有效性的典型裝置。來，許多學(xué)者對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行廣泛地研究。本文研究了直線二級倒立擺的控制問題。倒立擺的數(shù)學(xué)模型。本文分別用極點(diǎn)配置、LQR最優(yōu)控制設(shè)計(jì)了不同的控。Keywords：Invertedpendulum；PoleAssignment；OptimalControl；

　　

【正文】 較大，意味著控制費(fèi)用增高，使得控制能量較小 ， 反饋減弱 ， 當(dāng) R相對 很 小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增強(qiáng) ， 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)迅速 。 對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使其在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，根據(jù)前面對二級倒立擺運(yùn)動分析，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，上擺偏角 2? 應(yīng)比下擺的偏角1? 重要，下擺的偏角 1? 應(yīng)比小車的位移 x 重要，因此要在選擇加權(quán)矩陣 Q和 R時(shí)反映這些要求。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 27 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 仿真軟件的介紹 MATLAB簡介 MATLAB 是在 20 世紀(jì) 80 年代初期，由美國的 MathWorks 軟件開發(fā)公司正式推出的一種數(shù)學(xué)工具軟件，它以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)有機(jī)地融合到一個(gè)簡單易學(xué)的交互式工作環(huán)境中。 MATLAB 擁有功能強(qiáng)大、豐富的函數(shù)工具箱，可以實(shí)現(xiàn)科學(xué)計(jì)算、符號運(yùn)算、算法研究、數(shù)學(xué)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學(xué)工程繪圖以及圖形用戶界面設(shè)計(jì)等強(qiáng)大功能。 經(jīng)過這些年的不斷更新 ，它的交互性越來越好，功能也越來越強(qiáng)大，目前， MATLAB 軟件已成為了國際上公認(rèn)的、應(yīng)用最廣泛的優(yōu)秀數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件之一， MATLAB 為用戶提供了豐富而實(shí)用的資源，它涵蓋了許多門類的科學(xué)研究，如數(shù)學(xué)、控制、通信、數(shù)字信號處理、數(shù)字圖像處理和經(jīng)濟(jì)等。 MATLAB 語言具有如下特點(diǎn)： （ 1）編程效率高 它是一種面向科學(xué)與工程計(jì)算的高級語言，允許用數(shù)學(xué)形式的語言編寫程序，且比 Basic、 Fortean 和 C 等語言更加接近我們書寫計(jì)算公式的思維方式，用 MATLAB 編寫程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問題。因此， MATLAB語言也可以通俗地稱為演算紙式 科學(xué)算法語言。由于它編寫簡單，所以編程效率高，易學(xué)易懂。 （ 2） 語句簡單，用戶使用方便 MATLAB 語言是一種解釋執(zhí)行的語言（在沒被專門的工具編譯之前），它靈活、方便，其調(diào)試程序手段豐富，調(diào)試速度快，需要學(xué)習(xí)時(shí)間少。人們用任何一種語言編寫程序和調(diào)試程序一般都要經(jīng)過 4個(gè)步驟：編輯、編譯、連接以及執(zhí)行和調(diào)試。各個(gè)步驟之間是順序關(guān)系，編程的過程就是在它們之間做瀑布型的循環(huán)。 MATLAB 語言與其他語言相比，較好地解決了上述問題，把編輯、編譯、連接和執(zhí)行融為一體。它能在同一畫面上進(jìn)行靈活操作 ,快速排除程序中的書寫錯(cuò)誤、語法錯(cuò)誤乃至語義錯(cuò)誤，從而加快河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 28 了用戶編寫、修改和調(diào)試程序的速度，可以說在編程和調(diào)試過程中它是一種比 VB 還要簡單的語言。 （ 3） 擴(kuò)展能力強(qiáng) MATLAB 語言有豐富的庫函數(shù)，在進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)可以直接調(diào)用，而且 MATLAB 的庫函數(shù)同用戶文件在形式上一樣，所以用戶文件也可以作為 MATLAB 的庫函數(shù)來調(diào)用。因而，用戶可以根據(jù)自己的需要方便地建立和擴(kuò)充新的庫函數(shù)，以便提高 MATLAB 的使用效率和擴(kuò)充其他功能。 （ 4） 方便的繪圖功能 MATLAB 的繪圖功能十分方便，它有一系列繪圖函 數(shù)（命令），例如線性坐標(biāo)、對數(shù)坐標(biāo)、半對數(shù)坐標(biāo)以及極坐標(biāo)，均只需調(diào)用不同的繪圖函數(shù)（命令），在圖上標(biāo)出圖題、 XY 軸標(biāo)注，格（柵）繪制也只需調(diào)用相應(yīng)的命令，簡單易行。 正是由于這些特點(diǎn)，是 MATLAB 語言得到了廣泛的應(yīng)用。 簡介 雖然經(jīng)過 Math Works 公司的不但改進(jìn)升級，現(xiàn)在已經(jīng)推出了 MATLAB R20xxa，但由于使用習(xí)慣、計(jì)算機(jī)硬件資源的限制及新功能學(xué)習(xí)的滯后等原因，目前 仍被廣泛使用。本文即以 及其附帶的Simulink 仿真軟 件作為仿真軟件。 是一個(gè)由 MATLAB 工作環(huán)境、 MATLAB 數(shù)學(xué)函數(shù)庫、 MATLAB語言、 MATLAB 圖形處理系統(tǒng)和 MATLAB 應(yīng)用程序接口五大部分組成的功能強(qiáng)大的系統(tǒng)。 為 主包和數(shù)十個(gè)可選的工具箱 (Tool boxs)組成。主 包有功能豐富和完備的數(shù)學(xué)函數(shù)庫，大量繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算和分析可直接調(diào)用 MATLAB 函數(shù)求解。 MATLAB 的每一個(gè)工具箱都為特定的學(xué)科和研究領(lǐng)域提供了豐富的分析處理工具，如控制系統(tǒng)工具箱 (Control Systems Toolbox)、信號處理工具箱 (Signal Processing Toolbox)、通信工具箱(Communication Toolbox)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱 (Neural Networks Toolbox)、小波分析工具箱 (Wavelets Toolbox)和仿真工具箱 (Simulation Toolbox)等。對于我們 自動化 專業(yè)的仿真而言，我們主要用到的是 Simulink 工具河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 29 箱。當(dāng)然也有可能涉及到 SimPowerSystem 工具箱、 SimExtra 工具箱。但主要是使用 Simulink 工具箱來進(jìn)行電力電子和電機(jī)等方面的仿真。 Simulink 仿真工具箱簡介 在 中附帶有 Simulink 仿真工具箱。 Simulink 是一個(gè)用來對動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的軟件包，它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線性和非線性系統(tǒng)，也支持具有多種采樣頻率的系統(tǒng)。在Simulink 環(huán)境中，利用鼠標(biāo)就可以在模型窗口中直觀地做出 系統(tǒng)模型，然后直接進(jìn)行仿真。它為用戶提供了方框圖進(jìn)行建模的圖形接口，采用這種結(jié)構(gòu)畫模型就像你用手和紙來畫一樣容易。它與傳統(tǒng)的仿真軟件包微分方程和差分方程建模相比，具有更直觀、方便、靈活的優(yōu)點(diǎn)。 Simulink 包含有 SINKS（輸入方式）、 SOURCE（輸入源）、 LINEAR（線性環(huán)節(jié)）、 NONLINEAR（非線性環(huán)節(jié)）、 CONNECTIONS（連接與接口）和 EXTRA（其他環(huán)節(jié)）子模型庫。 號源庫 包 括階躍信號、正弦波、白噪聲、時(shí)鐘、常值、文件、信號發(fā)生器等各種信號源，其中信號發(fā)生器可產(chǎn)生正弦波、方波、鋸齒波、隨機(jī)信號等波形。 包括示波器仿真窗口、 MATLAB 工作區(qū)、文件等形式的輸出。 包括五種標(biāo)準(zhǔn)模式：延遲，零 極點(diǎn)，濾波器，離散傳遞函數(shù)，離散狀態(tài)空間。 提供七種標(biāo)準(zhǔn)模式：加法器、比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、傳遞函數(shù)、零 極點(diǎn)、狀態(tài)空間。 提供十三種常用標(biāo)準(zhǔn)模式：絕對值、乘法、函數(shù)、回環(huán)特性、死區(qū)特性、斜率、繼電器特性、飽和特性、開關(guān)特性等。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 30 包括輸入、輸出、多路轉(zhuǎn)換等模塊，用于連接其他模塊。 考慮到系統(tǒng)的復(fù)雜性， SIMULINK 另提供十二種類型的擴(kuò)展系統(tǒng)庫，每一種又有多種模型供選擇。 另外， MATLAB/SIMULINK 具有開放的編程環(huán)境，它允許用戶開發(fā)自己所需的模型，通 過成組封裝擴(kuò)充現(xiàn)有的模型庫。要建立自己的模型，主要有如下三種方法 : 用現(xiàn)有模型組合成新的自定義功能模型。 使用 MATLAB FUNCTION 模型調(diào)用 MATLAB 函數(shù)，構(gòu)造形如 y=f(x)的函數(shù)，其功能十分有限。 通過 SFUNCTION 模板構(gòu)造新功能模塊，即通過 MATLAB 或 C 語言程序，設(shè)計(jì)出可實(shí)現(xiàn)所需功能的新功能模塊。這些給快速建模提供了很大的便利。使用時(shí)只要建立好自己的模塊或從各子庫中取出模型，定義好模型參數(shù)，將各模型連接起來，然后設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，如仿真時(shí)間、仿真步長、計(jì)算方法等，就可以進(jìn)行使 用。 無干擾 控制系統(tǒng)的 仿真 此次 仿真為 無干擾條件下的控制系統(tǒng) 仿真， 仿真的目的是對整個(gè)控制系統(tǒng)在理想化 無干擾 條件下的控制進(jìn)行討論與研究。無干擾條件下控制系統(tǒng) Simulink 仿真圖如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 31 圖 41 無干擾 控制 系統(tǒng) Simulink 仿真框圖 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 32 對于上圖 41中設(shè)置的 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖為如下圖所示： 圖 42 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖 極點(diǎn)配置控制方案的仿真 為了使 系統(tǒng)有較好的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性，通過反復(fù)仿真最終選取閉環(huán)極點(diǎn)為： ? ?3 2 6 7 8 9i? ? ? ? ? ? ? ?得反饋增益陣為： ? ?4 . 8 6 4 5 2 0 . 6 3 0 9 9 6 . 9 5 8 3 0 . 6 9 9 1 8 . 3 2 3 7 1 3 . 4 0 5 4K ? 其 Simulink仿真框圖如圖 41所示 ， 仿真時(shí)選取初始狀態(tài)為： 0x? ，1 ?? ， 2 0?? ，仿真結(jié)果如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 33 圖 43 小車 位移 圖 44 小車速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 34 圖 45 上擺桿角位移 圖 46 上擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 35 圖 47 下擺桿角位移 圖 48 下擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 36 圖 49 總體仿真曲線 經(jīng)過多次 仿真可知，極點(diǎn)配置法可以對倒立擺這樣的不穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制，穩(wěn)態(tài)性能較好。當(dāng)選擇的主 導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的過渡時(shí)間短，但所需的控制力較大，反之， 離虛軸較近時(shí)，系統(tǒng)的過渡時(shí)間長，所需的控制力較小 ； 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)確定后，其余極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)，也就是其余極點(diǎn)實(shí)部最小的也要大于主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的 23倍以上，其距離主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)，系統(tǒng)的過渡時(shí)間短，超調(diào)量變大，所需的 控制力也較大。 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，重要的是使采用線性模型設(shè)計(jì)的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來適應(yīng)對應(yīng)參數(shù)的變化，并具有一定的魯棒性。最終綜合考慮了各項(xiàng)因素 ，選擇：? ?1 0 3 0 9 0 1 1 1Q d ia g? ， ? ,計(jì)算得： ? ?1 0 . 0 0 0 0 7 1 . 3 7 3 6 2 9 4 . 8 8 0 7 9 . 1 8 1 4 2 6 . 3 8 2 5 4 1 . 0 1 17K ? 其 Simulink仿真框圖同圖 41，系統(tǒng)初始化狀態(tài)為： 0x? ， 1 ?? ， 2 0?? ，仿真結(jié)果如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 37 圖 410 小車位移 圖 411 小車速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 38 圖 412 上擺桿角位移 圖 413 上擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 39 圖 414 下擺桿角位移 圖 415 下擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 40 圖 416 總體仿真曲線 與極點(diǎn)配置一樣， LQR控制器同樣可以對倒立擺進(jìn)行有效的控制，達(dá)到期望的目的。通過 多次 仿真 ， 還可得出 ： Q不變而 R減小時(shí)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間與超調(diào)量減小 ， 但穩(wěn)態(tài)誤差增大 ； 當(dāng) R不變而 Q變大時(shí)，調(diào) 節(jié)時(shí)間與超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也同時(shí)減小，但穩(wěn)態(tài)誤差同時(shí)增大 ； 當(dāng) Q和 R的變化與上述兩種情況相反時(shí)，結(jié)論也相反。當(dāng) Q和 R陣太大時(shí)，系統(tǒng)會喪失穩(wěn)定性。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中， Q和 R的選取應(yīng)根據(jù)上述規(guī)律并結(jié)合實(shí)際情況協(xié)調(diào)進(jìn)行。 干擾條件下控制系統(tǒng) 的仿真 此次對控制系統(tǒng)進(jìn)行的仿真為考慮一些干擾后的仿真，在實(shí)際生產(chǎn)和生活中比理想化 無干擾條件下的仿真 設(shè)計(jì)更為貼近，應(yīng)用更為廣泛。為了便于表達(dá)和說明，在原有的 Simulink仿真框圖加入一個(gè)相當(dāng)于外部干擾信號的 Bandlimited White Noise模塊，其參 數(shù)設(shè)置為 10，其他參數(shù)如無干擾仿真設(shè)置一樣， Simulink仿真框圖如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 41 圖 417 干擾條件下 控制 系統(tǒng) Simulink仿真框圖 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 42 極點(diǎn)配置控制方案的仿真 圖 418 小車位移 圖 419 小車速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 43 圖 420 上擺桿角位移 圖 421 上擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 44 圖 422 下 擺桿角位移 圖 423 下擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 45 圖 424 總體仿真曲線 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 圖 425 小車位移 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 46 圖 426 小車速度 圖 427 上擺桿角位