【導讀】不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗各種新型控制理論和方法有效性的典型裝置。來，許多學者對倒立擺系統(tǒng)進行廣泛地研究。本文研究了直線二級倒立擺的控制問題。倒立擺的數學模型。本文分別用極點配置、LQR最優(yōu)控制設計了不同的控。Keywords：Invertedpendulum；PoleAssignment；OptimalControl；

　　

【正文】 較大，意味著控制費用增高，使得控制能量較小 ， 反饋減弱 ， 當 R相對 很 小時，控制費用較低，反饋增強 ， 系統(tǒng)動態(tài)響應迅速 。 對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標應能使其在調節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內，根據前面對二級倒立擺運動分析，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個狀態(tài)時，上擺偏角 2? 應比下擺的偏角1? 重要，下擺的偏角 1? 應比小車的位移 x 重要，因此要在選擇加權矩陣 Q和 R時反映這些要求。 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 27 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 仿真軟件的介紹 MATLAB簡介 MATLAB 是在 20 世紀 80 年代初期，由美國的 MathWorks 軟件開發(fā)公司正式推出的一種數學工具軟件，它以矩陣運算為基礎，把計算、可視化、程序設計有機地融合到一個簡單易學的交互式工作環(huán)境中。 MATLAB 擁有功能強大、豐富的函數工具箱，可以實現科學計算、符號運算、算法研究、數學建模和仿真、數據分析和可視化、科學工程繪圖以及圖形用戶界面設計等強大功能。 經過這些年的不斷更新 ，它的交互性越來越好，功能也越來越強大，目前， MATLAB 軟件已成為了國際上公認的、應用最廣泛的優(yōu)秀數學應用軟件之一， MATLAB 為用戶提供了豐富而實用的資源，它涵蓋了許多門類的科學研究，如數學、控制、通信、數字信號處理、數字圖像處理和經濟等。 MATLAB 語言具有如下特點： （ 1）編程效率高 它是一種面向科學與工程計算的高級語言，允許用數學形式的語言編寫程序，且比 Basic、 Fortean 和 C 等語言更加接近我們書寫計算公式的思維方式，用 MATLAB 編寫程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問題。因此， MATLAB語言也可以通俗地稱為演算紙式 科學算法語言。由于它編寫簡單，所以編程效率高，易學易懂。 （ 2） 語句簡單，用戶使用方便 MATLAB 語言是一種解釋執(zhí)行的語言（在沒被專門的工具編譯之前），它靈活、方便，其調試程序手段豐富，調試速度快，需要學習時間少。人們用任何一種語言編寫程序和調試程序一般都要經過 4個步驟：編輯、編譯、連接以及執(zhí)行和調試。各個步驟之間是順序關系，編程的過程就是在它們之間做瀑布型的循環(huán)。 MATLAB 語言與其他語言相比，較好地解決了上述問題，把編輯、編譯、連接和執(zhí)行融為一體。它能在同一畫面上進行靈活操作 ,快速排除程序中的書寫錯誤、語法錯誤乃至語義錯誤，從而加快河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 28 了用戶編寫、修改和調試程序的速度，可以說在編程和調試過程中它是一種比 VB 還要簡單的語言。 （ 3） 擴展能力強 MATLAB 語言有豐富的庫函數，在進行復雜的數學運算時可以直接調用，而且 MATLAB 的庫函數同用戶文件在形式上一樣，所以用戶文件也可以作為 MATLAB 的庫函數來調用。因而，用戶可以根據自己的需要方便地建立和擴充新的庫函數，以便提高 MATLAB 的使用效率和擴充其他功能。 （ 4） 方便的繪圖功能 MATLAB 的繪圖功能十分方便，它有一系列繪圖函 數（命令），例如線性坐標、對數坐標、半對數坐標以及極坐標，均只需調用不同的繪圖函數（命令），在圖上標出圖題、 XY 軸標注，格（柵）繪制也只需調用相應的命令，簡單易行。 正是由于這些特點，是 MATLAB 語言得到了廣泛的應用。 簡介 雖然經過 Math Works 公司的不但改進升級，現在已經推出了 MATLAB R20xxa，但由于使用習慣、計算機硬件資源的限制及新功能學習的滯后等原因，目前 仍被廣泛使用。本文即以 及其附帶的Simulink 仿真軟 件作為仿真軟件。 是一個由 MATLAB 工作環(huán)境、 MATLAB 數學函數庫、 MATLAB語言、 MATLAB 圖形處理系統(tǒng)和 MATLAB 應用程序接口五大部分組成的功能強大的系統(tǒng)。 為 主包和數十個可選的工具箱 (Tool boxs)組成。主 包有功能豐富和完備的數學函數庫，大量繁雜的數學運算和分析可直接調用 MATLAB 函數求解。 MATLAB 的每一個工具箱都為特定的學科和研究領域提供了豐富的分析處理工具，如控制系統(tǒng)工具箱 (Control Systems Toolbox)、信號處理工具箱 (Signal Processing Toolbox)、通信工具箱(Communication Toolbox)、神經網絡工具箱 (Neural Networks Toolbox)、小波分析工具箱 (Wavelets Toolbox)和仿真工具箱 (Simulation Toolbox)等。對于我們 自動化 專業(yè)的仿真而言，我們主要用到的是 Simulink 工具河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 29 箱。當然也有可能涉及到 SimPowerSystem 工具箱、 SimExtra 工具箱。但主要是使用 Simulink 工具箱來進行電力電子和電機等方面的仿真。 Simulink 仿真工具箱簡介 在 中附帶有 Simulink 仿真工具箱。 Simulink 是一個用來對動態(tài)系統(tǒng)進行建模、仿真和分析的軟件包，它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線性和非線性系統(tǒng)，也支持具有多種采樣頻率的系統(tǒng)。在Simulink 環(huán)境中，利用鼠標就可以在模型窗口中直觀地做出 系統(tǒng)模型，然后直接進行仿真。它為用戶提供了方框圖進行建模的圖形接口，采用這種結構畫模型就像你用手和紙來畫一樣容易。它與傳統(tǒng)的仿真軟件包微分方程和差分方程建模相比，具有更直觀、方便、靈活的優(yōu)點。 Simulink 包含有 SINKS（輸入方式）、 SOURCE（輸入源）、 LINEAR（線性環(huán)節(jié)）、 NONLINEAR（非線性環(huán)節(jié)）、 CONNECTIONS（連接與接口）和 EXTRA（其他環(huán)節(jié)）子模型庫。 號源庫 包 括階躍信號、正弦波、白噪聲、時鐘、常值、文件、信號發(fā)生器等各種信號源，其中信號發(fā)生器可產生正弦波、方波、鋸齒波、隨機信號等波形。 包括示波器仿真窗口、 MATLAB 工作區(qū)、文件等形式的輸出。 包括五種標準模式：延遲，零 極點，濾波器，離散傳遞函數，離散狀態(tài)空間。 提供七種標準模式：加法器、比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、傳遞函數、零 極點、狀態(tài)空間。 提供十三種常用標準模式：絕對值、乘法、函數、回環(huán)特性、死區(qū)特性、斜率、繼電器特性、飽和特性、開關特性等。 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 30 包括輸入、輸出、多路轉換等模塊，用于連接其他模塊。 考慮到系統(tǒng)的復雜性， SIMULINK 另提供十二種類型的擴展系統(tǒng)庫，每一種又有多種模型供選擇。 另外， MATLAB/SIMULINK 具有開放的編程環(huán)境，它允許用戶開發(fā)自己所需的模型，通 過成組封裝擴充現有的模型庫。要建立自己的模型，主要有如下三種方法 : 用現有模型組合成新的自定義功能模型。 使用 MATLAB FUNCTION 模型調用 MATLAB 函數，構造形如 y=f(x)的函數，其功能十分有限。 通過 SFUNCTION 模板構造新功能模塊，即通過 MATLAB 或 C 語言程序，設計出可實現所需功能的新功能模塊。這些給快速建模提供了很大的便利。使用時只要建立好自己的模塊或從各子庫中取出模型，定義好模型參數，將各模型連接起來，然后設置系統(tǒng)參數，如仿真時間、仿真步長、計算方法等，就可以進行使 用。 無干擾 控制系統(tǒng)的 仿真 此次 仿真為 無干擾條件下的控制系統(tǒng) 仿真， 仿真的目的是對整個控制系統(tǒng)在理想化 無干擾 條件下的控制進行討論與研究。無干擾條件下控制系統(tǒng) Simulink 仿真圖如下圖所示： 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 31 圖 41 無干擾 控制 系統(tǒng) Simulink 仿真框圖 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 32 對于上圖 41中設置的 Subsystem 模塊其內部結構圖為如下圖所示： 圖 42 Subsystem 模塊其內部結構圖 極點配置控制方案的仿真 為了使 系統(tǒng)有較好的穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應特性，通過反復仿真最終選取閉環(huán)極點為： ? ?3 2 6 7 8 9i? ? ? ? ? ? ? ?得反饋增益陣為： ? ?4 . 8 6 4 5 2 0 . 6 3 0 9 9 6 . 9 5 8 3 0 . 6 9 9 1 8 . 3 2 3 7 1 3 . 4 0 5 4K ? 其 Simulink仿真框圖如圖 41所示 ， 仿真時選取初始狀態(tài)為： 0x? ，1 ?? ， 2 0?? ，仿真結果如下圖所示： 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 33 圖 43 小車 位移 圖 44 小車速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 34 圖 45 上擺桿角位移 圖 46 上擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 35 圖 47 下擺桿角位移 圖 48 下擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 36 圖 49 總體仿真曲線 經過多次 仿真可知，極點配置法可以對倒立擺這樣的不穩(wěn)定系統(tǒng)進行有效的控制，穩(wěn)態(tài)性能較好。當選擇的主 導極點離虛軸較遠時，系統(tǒng)的過渡時間短，但所需的控制力較大，反之， 離虛軸較近時，系統(tǒng)的過渡時間長，所需的控制力較小 ； 當主導極點確定后，其余極點應遠離主導極點，也就是其余極點實部最小的也要大于主導極點實部的 23倍以上，其距離主導極點遠，系統(tǒng)的過渡時間短，超調量變大，所需的 控制力也較大。 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，重要的是使采用線性模型設計的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來適應對應參數的變化，并具有一定的魯棒性。最終綜合考慮了各項因素 ，選擇：? ?1 0 3 0 9 0 1 1 1Q d ia g? ， ? ,計算得： ? ?1 0 . 0 0 0 0 7 1 . 3 7 3 6 2 9 4 . 8 8 0 7 9 . 1 8 1 4 2 6 . 3 8 2 5 4 1 . 0 1 17K ? 其 Simulink仿真框圖同圖 41，系統(tǒng)初始化狀態(tài)為： 0x? ， 1 ?? ， 2 0?? ，仿真結果如下圖所示： 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 37 圖 410 小車位移 圖 411 小車速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 38 圖 412 上擺桿角位移 圖 413 上擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 39 圖 414 下擺桿角位移 圖 415 下擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 40 圖 416 總體仿真曲線 與極點配置一樣， LQR控制器同樣可以對倒立擺進行有效的控制，達到期望的目的。通過 多次 仿真 ， 還可得出 ： Q不變而 R減小時，系統(tǒng)的調節(jié)時間與超調量減小 ， 但穩(wěn)態(tài)誤差增大 ； 當 R不變而 Q變大時，調 節(jié)時間與超調量減小，擺桿的角度變化也同時減小，但穩(wěn)態(tài)誤差同時增大 ； 當 Q和 R的變化與上述兩種情況相反時，結論也相反。當 Q和 R陣太大時，系統(tǒng)會喪失穩(wěn)定性。在控制系統(tǒng)設計中， Q和 R的選取應根據上述規(guī)律并結合實際情況協調進行。 干擾條件下控制系統(tǒng) 的仿真 此次對控制系統(tǒng)進行的仿真為考慮一些干擾后的仿真，在實際生產和生活中比理想化 無干擾條件下的仿真 設計更為貼近，應用更為廣泛。為了便于表達和說明，在原有的 Simulink仿真框圖加入一個相當于外部干擾信號的 Bandlimited White Noise模塊，其參 數設置為 10，其他參數如無干擾仿真設置一樣， Simulink仿真框圖如下圖所示： 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 41 圖 417 干擾條件下 控制 系統(tǒng) Simulink仿真框圖 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 42 極點配置控制方案的仿真 圖 418 小車位移 圖 419 小車速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 43 圖 420 上擺桿角位移 圖 421 上擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 44 圖 422 下 擺桿角位移 圖 423 下擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 45 圖 424 總體仿真曲線 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 圖 425 小車位移 河南理工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 46 圖 426 小車速度 圖 427 上擺桿角位