【正文】 當(dāng) Q和 R陣太大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)喪失穩(wěn)定性。這些給快速建模提供了很大的便利。 提供七種標(biāo)準(zhǔn)模式：加法器、比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、傳遞函數(shù)、零 極點(diǎn)、狀態(tài)空間。 Simulink 是一個(gè)用來對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的軟件包，它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線性和非線性系統(tǒng)，也支持具有多種采樣頻率的系統(tǒng)。 是一個(gè)由 MATLAB 工作環(huán)境、 MATLAB 數(shù)學(xué)函數(shù)庫、 MATLAB語言、 MATLAB 圖形處理系統(tǒng)和 MATLAB 應(yīng)用程序接口五大部分組成的功能強(qiáng)大的系統(tǒng)。 MATLAB 語言與其他語言相比，較好地解決了上述問題，把編輯、編譯、連接和執(zhí)行融為一體。 MATLAB 擁有功能強(qiáng)大、豐富的函數(shù)工具箱，可以實(shí)現(xiàn)科學(xué)計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、算法研究、數(shù)學(xué)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學(xué)工程繪圖以及圖形用戶界面設(shè)計(jì)等強(qiáng)大功能。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 26 Q, R陣的選擇 在利用 LQR方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，一個(gè)最 關(guān)鍵的問題是二次型性能指標(biāo)的選取。對(duì)于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做 為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡(jiǎn)稱線性二次型 (LQR)問題。 單輸入單輸出系統(tǒng)確定滿足極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋矩陣 K的算法主要有系統(tǒng)匹配法、 Ackermann配置法、 GuraBass算法等幾種方法 ， 假定期望的閉 環(huán)極點(diǎn)為： i? ， ? ?1in? ， 則原系統(tǒng) (31)的開環(huán)特征方程為 ： ? ? ? ? 110d e t nnna s s I A s a s a s a??? ? ? ? ? ? (35) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 : ? ? ? ? 1101n nnints s s s s? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? (36) (1)系統(tǒng)匹配法是計(jì)算反饋陣的一個(gè)最直接的方法，它主要通過比較系統(tǒng)特征 方 程的系數(shù)來求解，即 :(34)式與 (36)式的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等。 極點(diǎn)配置控制方案的設(shè)計(jì) 極點(diǎn)配置理論 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)品質(zhì)同閉環(huán)極 點(diǎn)密切相關(guān)，控制系統(tǒng)的各種特性及其各種品質(zhì)指標(biāo)很大程度上由其閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置決定。 對(duì)于由式 (214)所確定的二級(jí)倒立擺系統(tǒng) ， 其特征方程為 ：? ?det 0IA? ??， 經(jīng)計(jì)算的系統(tǒng)的開環(huán)特征根為：? ?0 8 . 9 9 2 6 5 . 0 8 7 2 1 6 . 9 6 8 7 4 . 7 2 6 3 9 . 3 8 4 1? ? ?，系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)在復(fù)平面右半平面， 有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此，在建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，利用一些仿真手段對(duì)被控對(duì)象的特性加以分析，是很有必要的。拉格朗日 方程為： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 14 11 1 1t q qd L L D Qdq??? ? ?? ? ???? ? ??? ， ? ? ? ? ? ?q , , ,L q T q q V q q?? （ 21） 對(duì)于 直線 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)為位移 x 和擺桿角度 1? ,2? ； 1Q 為作用在系統(tǒng)上的廣義力，當(dāng) 1qx? ， 10Q Gu? ,當(dāng) 11q ?? ,2? 時(shí)， 1 0Q? 。 ，上下擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作用于擺桿的阻力矩正比于擺桿的角速度。 ② 建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)只需分析已知的主動(dòng)力而不必分析未知的約束力，因而，對(duì)于倒立擺這樣的復(fù)雜系統(tǒng)更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。 (3) 耦合 特性： 倒立擺的擺桿和小車之間，以及多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都是強(qiáng) 耦合 的。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 10 第二章 直線二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 現(xiàn)代控制理論是基于狀態(tài)空間法進(jìn)行分析的，因此首先要建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。介紹了 直線 二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)，在一定假設(shè)條件下，用拉格朗 日方程，建立起二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的標(biāo)稱數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了線性化，初步分析了其運(yùn)動(dòng)特性。 Charies 1988年應(yīng)用自學(xué)習(xí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功控制一級(jí)擺 ； 周建波等用基于 BP網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則控制也解決了單擺的穩(wěn)定性控制問題 ； 徐紅兵等提出了基于變結(jié)構(gòu)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制 ； 1995年，張明廉等人應(yīng)用擬人智能控制理論成功的解決了三級(jí)倒立擺這一控制界的世界性難題 ；20xx年 9月 19日，北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)時(shí)智能控制實(shí)驗(yàn)室采用變論域自適應(yīng)模糊控制 成功地實(shí)現(xiàn) 了三 級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 8 制，又于 20xx年 8月 11日在國際上首次成功實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺實(shí)物控制系統(tǒng) 。例如 ： 機(jī)器人行走 過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等等，因此倒立擺的穩(wěn)定控制方法在軍工、航天、機(jī)器人領(lǐng)域和一般工業(yè)工程中有著很廣泛的用途，相關(guān)的科研成果己經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機(jī)器人學(xué)等諸多領(lǐng)域。倒立擺，顧 名思義， 是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)，人為控制使其處于動(dòng)態(tài)平衡的一種擺。它以描述系統(tǒng)狀態(tài)這一 內(nèi)部特征向量的狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，主要研究有高性能、高精度的多輸入 多輸出、變參數(shù)系統(tǒng)的 分 析和設(shè)計(jì)問題，最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辨識(shí)和自適應(yīng)控制等理論都是這一領(lǐng)域研究的主要課題。首先 闡述了倒立擺系統(tǒng)控制的研究發(fā)展過程和現(xiàn)狀， 接著 介紹了倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并詳細(xì)推導(dǎo)了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 本文分別 用極點(diǎn)配置、 LQR最優(yōu)控 制設(shè)計(jì)了 不同的 控制器，通過 比較和 MATLAB仿真， 驗(yàn)證了所設(shè) 計(jì)的控制器的有效性、穩(wěn)定性和抗干擾性 。它能夠解決經(jīng)典控制理論難以解決的一些問題。它一般由沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺體組成，小車可以在限定的軌道上移動(dòng)，小車上的倒立擺一端被絞鏈在小車頂部，另一端可以在小車軌道所在的垂直平面上轉(zhuǎn)動(dòng)。正是由于對(duì)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制研究有著重要的理論和實(shí)際意義，因而倒立擺的穩(wěn)定控制成為了控制理論中歷久不衰的研究課題。 倒立擺作 為一個(gè)典型的被控對(duì)象，適合用多種理論和方法進(jìn)行控制。 第三章 直線二級(jí)倒立擺控制方案的設(shè)計(jì)。本章從二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過 對(duì)其進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)描述， 對(duì)比 兩種 建立數(shù)學(xué)模型的方法： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )的優(yōu)缺點(diǎn)，并選定 歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)建模， 并進(jìn)行必要的線性化處理和初步的系統(tǒng) 原理 分析。這既是可 采用單電機(jī)驅(qū)動(dòng)倒立擺控制系統(tǒng)的原因，也是使得控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、控制器參數(shù)調(diào)節(jié)變得復(fù)雜的原因。 ③ 拉格朗日方程具有很好的對(duì)稱性，即對(duì)于同一位形空間中的每個(gè)坐標(biāo)而言各方程都具有相同的形式。 ， 擺桿沒有在與滑軌成垂直方向上的運(yùn)動(dòng)。 T為小車和各級(jí)倒立擺的總動(dòng)能， V為小車和各級(jí)倒立擺的總勢(shì)能， D為小車和各級(jí)倒立擺的總耗散能 。 一般擺桿豎直向上是系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，需要設(shè)計(jì)控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。 還可以計(jì)算得出 ? ? 6Crank S ? ， ? ?0 6rank S ? ， 根據(jù)定理 1和定理 2可知：系統(tǒng)是完全可控和完全可觀的。經(jīng)典控制理論中通常用調(diào)整開環(huán)增益及引入串、并聯(lián)校正裝置來配置閉環(huán)極點(diǎn)。此方法較為簡(jiǎn)單，但只適合于低階系統(tǒng)。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種重要工具。二次 型性能指標(biāo)與實(shí)際工程意義的品質(zhì)指標(biāo)間的聯(lián)系至今未完全建立。 經(jīng)過這些年的不斷更新 ，它的交互性越來越好，功能也越來越強(qiáng)大，目前， MATLAB 軟件已成為了國際上公認(rèn)的、應(yīng)用最廣泛的優(yōu)秀數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件之一， MATLAB 為用戶提供了豐富而實(shí)用的資源，它涵蓋了許多門類的科學(xué)研究，如數(shù)學(xué)、控制、通信、數(shù)字信號(hào)處理、數(shù)字圖像處理和經(jīng)濟(jì)等。它能在同一畫面上進(jìn)行靈活操作 ,快速排除程序中的書寫錯(cuò)誤、語法錯(cuò)誤乃至語義錯(cuò)誤，從而加快河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 28 了用戶編寫、修改和調(diào)試程序的速度，可以說在編程和調(diào)試過程中它是一種比 VB 還要簡(jiǎn)單的語言。 為 主包和數(shù)十個(gè)可選的工具箱 (Tool boxs)組成。在Simulink 環(huán)境中，利用鼠標(biāo)就可以在模型窗口中直觀地做出 系統(tǒng)模型，然后直接進(jìn)行仿真。 提供十三種常用標(biāo)準(zhǔn)模式：絕對(duì)值、乘法、函數(shù)、回環(huán)特性、死區(qū)特性、斜率、繼電器特性、飽和特性、開關(guān)特性等。使用時(shí)只要建立好自己的模塊或從各子庫中取出模型，定義好模型參數(shù)，將各模型連接起來，然后設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，如仿真時(shí)間、仿真步長(zhǎng)、計(jì)算方法等，就可以進(jìn)行使 用。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中， Q和 R的選取應(yīng)根據(jù)上述規(guī)律并結(jié)合實(shí)際情況協(xié)調(diào)進(jìn)行。通過 多次 仿真 ， 還可得出 ： Q不變而 R減小時(shí)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間與超調(diào)量減小 ， 但穩(wěn)態(tài)誤差增大 ； 當(dāng) R不變而 Q變大時(shí)，調(diào) 節(jié)時(shí)間與超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也同時(shí)減小，但穩(wěn)態(tài)誤差同時(shí)增大 ； 當(dāng) Q和 R的變化與上述兩種情況相反時(shí)，結(jié)論也相反。 通過 SFUNCTION 模板構(gòu)造新功能模塊，即通過 MATLAB 或 C 語言程序，設(shè)計(jì)出可實(shí)現(xiàn)所需功能的新功能模塊。 包括五種標(biāo)準(zhǔn)模式：延遲，零 極點(diǎn)，濾波器，離散傳遞函數(shù)，離散狀態(tài)空間。 Simulink 仿真工具箱簡(jiǎn)介 在 中附帶有 Simulink 仿真工具箱。本文即以 及其附帶的Simulink 仿真軟 件作為仿真軟件。各個(gè)步驟之間是順序關(guān)系，編程的過程就是在它們之間做瀑布型的循環(huán)。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 27 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 仿真軟件的介紹 MATLAB簡(jiǎn)介 MATLAB 是在 20 世紀(jì) 80 年代初期，由美國的 MathWorks 軟件開發(fā)公司正式推出的一種數(shù)學(xué)工具軟件，它以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)有機(jī)地融合到一個(gè)簡(jiǎn)單易學(xué)的交互式工作環(huán)境中。由此可見最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選擇合適的加權(quán)陣 Q和 R，并據(jù)此計(jì)算出 黎卡提矩陣代數(shù)方程中的 P，就可以求出反饋增益 K。 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的設(shè)計(jì) 最優(yōu)控制就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)具有最優(yōu)值的 一種控制。 圖 31 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 極點(diǎn)配置算法 所給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是按共扼對(duì)出現(xiàn)的復(fù)數(shù)，它的選擇是一個(gè)工程實(shí)踐與理論相結(jié)合的問題，要從實(shí)際出發(fā)來確定極點(diǎn)和零點(diǎn)在 復(fù)數(shù)平面上的分布?；诂F(xiàn)代控制理論的極點(diǎn)配置控制方案、最優(yōu)控制方案 等 。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 21 定理 2(能觀性判據(jù) ) n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) X AX BuY CX Du????完全能觀，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能觀性矩陣： 210 TnS C C A C A C A ???? ??滿秩，即 ? ?00rank S n? 特別的當(dāng)輸入量 ??yt 為標(biāo)量時(shí)，能觀性矩陣 0S 為方陣，即? ?0rank S n? 等價(jià)于 0S 的行列式值 ? ?0det 0S ? 。 本次設(shè)計(jì)由于 是對(duì)直線二級(jí)倒立擺的控制系統(tǒng)的系統(tǒng)仿真，因此對(duì)其設(shè)計(jì)模型的參數(shù)的測(cè)定不做具體累述，通過直接或間接的方法設(shè)定系統(tǒng)的具體參數(shù)為： 0M : 1M : 2M : L : 1l : 2l : 0F :11 1F : 2F : 1J : 2J : 0G : 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 20 1K : 2K : g : 將上述設(shè)定的具體系統(tǒng)參數(shù)帶入 式 （ 214） 可得系統(tǒng)狀態(tài)方程中 的各矩陣 ： 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 A?????? ? ? ?????? ? ??? 000B????????? ??????????? 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0C??????? 倒立擺系統(tǒng)的初步運(yùn)動(dòng)分析 在研究控制方案之前，首先應(yīng)該對(duì)被控對(duì)象的特性及本質(zhì)有充分的了解。米 ； u :控制器向功放電路的輸出的控制電壓，單位伏 ； 0G :功放電路和電機(jī)的等效放大系數(shù)，即轉(zhuǎn)動(dòng)力矩折合到小車上的控制力 U與功放輸入電壓 u 之比，單位 牛 /伏； U:電機(jī)所提供的作用于小車的控制力，其定義如下 0U G u? ，單位牛，其方向向右為正； 1k :擺桿轉(zhuǎn)角測(cè)量電位器的放大倍數(shù)，單位伏 /弧度 ； 2k :小車位移測(cè)量電位器的放大倍數(shù)，單位伏 /米 ； 直線二級(jí)倒立擺的拉格朗日方程 建模 通過上述設(shè)定與分析用拉格朗日方程建立直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 ，放大器和電位器是線性的。 歐拉 拉格朗